第十一章弹性力学的变分原理.ppt

2、由虚应力原理 即应力变分方程 3、 由于 是边界Ｓu上给定的已知函数， 所以右端项中变分可以移到积分号前面，并记 由此可见，在所有静力可能的应力中，实际存在的应力使弹性体的总余能取驻值，进一步可以证明，对于稳定平衡状态，这个驻值为极小值。又解具有唯一性，由此可以导出最小余能原理：在所有静力可能的应力中，实际存在的应力使弹性体的总余能取最小值。 得到: 弹性体总余能 证明： 最小余能原理等价于几何方程和位移边界条件。 反之，必要性也成立 变分问题 的欧拉方程为几何方程，自然边界条件为位移边界条件。 §11－8 基于最小势能原理的近似计算 基于最小势能原理，如果能够列出所有变形可能的位移，其中使总势能取最小值的那个位移，就是真实的位移。 问题在于：我们不可能列出所有变形可能的位移，一般只能选其中的一组，故解具有近似性。 但：如果事先给出的变形可能位移中含有真解的形式，则一定可以求出真解。 1. Ritz 法 不失一般性,设可能位移为 上式所示的位移总能满足位移边界条件 求位移的问题 求系数Ａm,Ｂm,Ｃm 其中,含有应变能和位移的变分,如何实现? 代入,有: m＝１，２，３，… 关于Ａm,Ｂm,Ｃm的3m个线性代数方程组 2.伽辽金法 由: 得到: 如果选择的位移不仅满足位移边界条件，而且还满足应力边界条件，则上式成为 关于Ａm,Ｂm,Ｃm的3m个线性代数方程组 得到: 例1.求简支梁的挠曲线 满足端点基本边界条件: 分析:关键是求J 的表达式,设: w(０)＝０， w(l）＝０ 由最小势能原理δＪ＝０，得到: 代入: 所以有: 例2.平面矩形薄板受均布压力作用 1) 写出位移边界条件 2) 设满足位移边界条件的位移函数 具体可先取一项 3) 计算 得到: 求出: 根据: §11－9 基于最小余能原理的近似计算 1) 设定容许应力 2) 根据最小余能原理 得到: 3) 讨论: m＝１，２，３，… 当位移边界上的位移全为零，或全部边界为应力边界条件，有： m＝１，２，３，… §11 — 3 广义虚功原理 一、真实位移、真实应力和真实应变 即几何连续条件 即平衡条件 它们构成弹性力学问题的解。 二、容许位移、容许应变 只对应于一个连续的位移场，但不一定对应于一个平衡的应力状态，即与 对应的应力不一定满足平衡条件；而真实位移必对应一个平衡的应力状态。 容许位移和应变不一定是真实的位移和应变。但反之，真实的位移和应变必然是容许的。 比较 3、容许应力 比较 与容许应力对应的应变与位移不一定满足协调方程和位移边界条件，不保证物体内部存在单值连续的位移场，但真实应力对应于单值连续的位移场。 容许应力不一定是真实的应力。但反之，真实的应力必然是容许的。 4、虚位移、虚应变 弹性体平衡位置附近，几何约束条件容许的微小位移，记为 5、虚应力 弹性体平衡位置附近，平衡条件所容许的微小应力状态. 但在位移边界上引起一个容许的面力 6、广义虚功原理 外力在容许位移上所做的功等于容许应力在与该容许位移相应的容许应变上所做的功。简述为，外力虚功等于内力虚功。 证明： 移项后 说明： 1、证明中，涉及到平衡、几何方程，并未涉及到物理方程。故在小变形及连续性条件下，适用于任何材料。 2、容许应力与容许位移、容许应变可以是同一弹性体中不同的受力状态和变形状态，彼此独立。 3、（a）平衡条件、（b）几何条件、（c）广义虚功方程三者间得关系由其中任两个条件可得第三个。 由（b）、（c) (a) 表述为：若有一组内外力，对于任意容许位移和相应的容许应变，使广义虚功原理成立，则这组内外力是平衡的。 证明： 因为广义虚功原理 由（a）、（c) (b) 表述为：若有一组位移和应变，对于任意容许应力，使广义虚功原理成立，则这组位移和应变是可能的。 关系： 平衡条件 几何条件 平衡条件 几何条件 广义虚功原理 7、虚位移原理 由广义虚功原理： 并取 虚位移原理 外力虚功=内力虚功 即为： 或称： 虚位移原理 平衡方程＋应力边界条件 8、虚应力原理 由广义虚功原理： 由广义虚功原理： 外余虚功=内余虚功 表明 在已知位移的边界上，虚面力在真实位移上作的功，等于整个弹性体的虚应力在真实应变上作的功。即虚应力原理。 虚应力原理 几何方程＋位移边界条件 9、功的互等定