(中科大电磁场).ppt

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * §1.2 无旋场、无散场及矢量场的分解 三、矢量场的分解 irrotational solenoidal 已知矢量场在V内的场源，即散度和旋度，能否在V内唯一确定该矢量场 §1.3 ▽算子的运算 二个矢量代数公式： 或 或 记忆！ 性质： 一、一阶▽算子的运算 T(▽)：包含▽算子的表达式且对▽ 呈线性。 对于任何T(▽)，可将▽看作普通矢量进行矢量代数的恒等变换，所得结果不变。但在变换中不能改变▽算子对每个函数的作用性。必要时对不受▽算子作用的函数（包括微分时视为常数的函数）加注下标c，以示其被视为常数。 §1.3 ▽算子的运算 如果T(▽)中▽的后面有二个函数相乘（包括数乘、点乘和叉乘）且它们都受到▽算子的作用，则T(▽)可表为二项之和：在一项中，其中一个函数视为常数，不受▽算子的作用；而在另一项中，另一个函数视为常数，不受▽算子的作用。 §1.3 ▽算子的运算 要点： ▽为一矢量微分算子，合法的运算必须既符合矢量代数运算规则，又符合微分运算规则，其必须兼顾其矢量特性和微分特性。 §1.3 ▽算子的运算 §1.3 ▽算子的运算 二、二阶▽算子的运算 T(▽, ▽)：包含二阶▽算子的表达式且对每个▽算子呈线性。 运算规则： T(▽, ▽) → T(▽1, ▽2) → 运算结束后, ▽1=▽2=▽ §1.3 ▽算子的运算 §1.4 积分定理 一、Gauss类（Gauss定理及可由其证明的定理） §1.4 积分定理 §1.4 积分定理 二、Stokes类（Stokes定理及可由其证明的定理） §1.4 积分定理 §1.5 δ函数 一、δ函数的定义及基本性质 §1.5 δ函数 二、δ函数在正交曲线坐标系下的表达式 §1.5 δ函数 三、二个常用公式 【证】 §1.5 δ函数 【证】 §1.5 δ函数 * * * * * * * * * * * * * * * * 第一章 矢量分析 §1.1 基本概念 场的定义： 一个物理量或数学量在空间的分布称为该物理量或数学量的场。即：若对空间某一区域内的任意点，都有某个物理量或数学量的一个确定值与之对应，则称该区域内确定了该物理量或数学量的一个场。 数学上，场 函数（自变量为空间坐标） 场 标量场（Scalar Field） 矢量场（Vector Field） 备注：场可随时间变化，但数学中的场论仅研究其随空间的变化。 等位线 电力线 电偶极子的静电场 水流流速场 §1.1 基本概念 §1.1 基本概念 其中，cosα、cosβ及cosγ为 的方向余弦，即 标量场在某点的梯度为一矢量。其大小等于该点所有方向导数的最大值，其方向为取得该最大值的方向。 §1.1 基本概念 梯 度： 其中， 即为梯度： gradient Nabla或Hamilton算子, 读作“del” 标量场梯度的性质 （1）标量场沿任一方向的方向导数等于梯度在该方向的投影。 （2）标量场在任一点的梯度垂直于过该点的等值面，且指向场增大的一方。（备注：等值面的法向有两个） 等值面： 标量场梯度的性质 （3）一个标量场的梯度确定，则该标量场也随之确定，最多相差一个任意常数。 对场的描述 标量场 其梯度场 对一个标量场，可直接研究该标量场，亦可研究其梯度场； 对一个矢量场，若其可表为一个标量场的梯度，则通常研究此标量场较为方便。 二、矢量场 1、矢量场的矢量线表示 矢量线是这样一些曲线：线上任意一点的切线方向代表该点的矢量场的方向，矢量线的密度表示该点场的大小，即垂直于矢量的单位表面所穿过的矢量线个数代表该矢量的大小。 §1.1 基本概念 2、矢量场的通量和散度 ① 通量 可见，通量为一代数量。其正负与矢量场方向和面积元法线的夹角有关。矢量场在曲面S上的通量可看作穿过S面的（净）矢量线数目。 面积元矢量 如果S是一闭合曲面，若无特别交代，则约定S的法向量由闭合曲面内指向闭合曲面外，即为外法向。 2、矢量场的通量和散度 例：水流流速场及其通量。 米/秒 流量，立方米/秒 （Ⅰ） （Ⅱ） （Ⅲ） 2、矢量场的通量和散度 表示有净的矢量线从S内流出。S內必有发出矢量线的源或正源。 表示有净的矢量线流入S。S內必有收集矢量线的汇或负源。 表示没有矢量线出入S或流出和流入S的矢量线数目相等。无源或正负源代数和为零