8第十章压杆稳定问题.ppt

（2）分析： 悬臂梁BC相当于一弹簧，为了求当量弹簧常数k*，设刚性杆AB上作用一水平力F*，则悬臂梁BC水平位移d为 当量弹簧常数 （2）解：（a） 设微干扰后，OA杆保持直线偏转失稳。 类比（1）的解法： （a） （2）解： （b） 设微干扰后，OA杆弯曲失稳。 对比杆（1） 结构（2）失稳临界载荷 作业：9-4，9-8 (旧书) 10-4，10-8 (新书) 11-4，11-8 (新书) 谢谢 第十章 压杆稳定问题 上讲回顾 压杆稳定性 受压杆件保持初始直线平衡状态的能力 临界载荷Fcr: 压杆直线形式的平衡由稳定转变为不稳定时的轴向压力值。 稳定性的概念与失稳的后果 稳定性——保持原有平衡形式的能力 弹性压杆临界载荷的欧拉公式 欧拉公式的意义（内因与外因）与适用范围 刚杆压杆弹簧系统与弹性压杆的区别与联系 §10-3 两端非铰支细长压杆的临界载荷 第十章 压杆稳定问题 §10-3 两端非铰支细长压杆的临界载荷 ? 解析法确定临界载荷：铰支-固支压杆 ? 类比法确定临界载荷 ? 相当长度与长度因素 ? 例题 一、解析法确定临界载荷 F A B F A B 根据微弯临界平衡状态建立微分方程 令 1. 固支-自由压杆 F x M F 通解： 考虑位移边界条件： F A B 存在非零解的条件： 取n=1, 得固支-自由压杆的临界载荷： F A B 存在非零解的条件： 注意到： 得： 2. 一端固支一端铰支细长压杆的临界载荷 F F FR x F w F 根据微弯临界平衡状态建立微分方程 通解： F x 通解： 考虑位移边界条件： F x 存在非零解的条件： F x 总结 1．弹性平衡稳定性的概念 受压杆件保持初始直线平衡状态的能力称为压杆的稳定性；弹性体保持初始平衡状态的能力称为弹性平衡的稳定性。 2．压杆的临界载荷 使压杆直线形式的平衡由稳定转为不稳定的轴向压力值。 3、 两端铰支细长压杆稳定微分方程 4、 两端铰支细长压杆的临界载荷 5、 两端非铰支细长压杆的临界载荷——解析法 力学模型·数学方程·齐次方程的非零解·系数行列式为零 F F F 1. 一端固支一端自由： 二、类比法确定临界载荷 观察：受力与变形与两端铰支压杆左半部分相同 类比：一端固支一端自由长l的压杆的临界载荷等于长2l的对应铰支压杆的临界载荷。 与解析法结果相同 2. 一端固支、一端铰支 Fcr A B Fcr 0.7l Fcr B C Fcr 拐点 A B C 变形曲线观察：与B端相距约0.7l处有一拐点C 类比：拐点C处弯矩为零，将C点坐标转动到变形前位置，BC段类比铰支压杆。 近似性讨论：由于变形后拐点C离开轴线，B处有约束反力，小变形条件下很小。 3. 两端固支压杆： 拐点 拐点 三、欧拉公式的统一表达式： ml ——相当长度：相当的两端铰支压杆的长度 m——长度因数:支持方式对临界载荷的影响 欧拉公式可以写成统一形式： 常见支承的压杆稳定问题中，其控制方程均为弹性梁弯曲方程（计及了轴向压力的影响）。当控制方程用二阶线性常系数微分方程描述时，它们的齐次部分完全相同，区别只是非齐次项。可以发现简支压杆（欧拉问题）的控制方程最简单，其非齐次项为零。从微分方程解的表达式来看，简支压杆的解仅仅对应了齐次部分。而其他情况还要考虑非齐次部分的特解，因而可以认为简支压杆是压杆稳定问题的最基本模式。显然其他支承的压杆与简支压杆应该存在某种内在联系，这种联系可通过有效长度来体现。 从数学观点看，压杆微分方程与梁弯曲方程有着根本区别：前者是本征值问题，其本征函数（即屈曲模态）均含有一个不确定的系数（如最大挠度等）。其物理根源是在临界载荷作用下，压杆处于中性平衡状态（或称为随遇平衡状态），所以即使对应一定的屈曲模态，位移的大小是不确定的。与梁不同，梁弯曲时载荷与挠度无关，挠度是完全确定的。(如果考虑大挠度问题，位移的大小是确定的) 解：（a）研究刚杆AC的临界平衡 例： 刚杆（蝶形）弹簧系统，求临界载荷。 （a） A B C （b） A B C A C BC给与AC的反力为F（二力杆，系统小变形） 弹簧力为kd=klq A点与力线F的距离l·2q 由对A的力矩平衡 解：（b）研究刚杆AC的临界平衡 例： 刚杆（蝶形）弹簧系统，求临界载荷。 （a） A B C （b） A B C 扭簧力为k*·2q A点距力线F为l·q 由对A的力矩平衡 C A q （b） A B C 大变形的解 C A q 人体躯干与四肢完全可以简化为刚杆－弹簧模型，刚杆为骨骼，弹簧为关节肌肉群。为了保证人体举重姿势平衡状态的稳定性，其所能承受的重量是有上限的：该重量与关节肌肉群的刚度成正比，与骨骼长度成反比。