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8第十章压杆稳定问题.ppt
(2)分析: 悬臂梁BC相当于一弹簧,为了求当量弹簧常数k*,设刚性杆AB上作用一水平力F*,则悬臂梁BC水平位移d为 当量弹簧常数 (2)解:(a) 设微干扰后,OA杆保持直线偏转失稳。 类比(1)的解法: (a) (2)解: (b) 设微干扰后,OA杆弯曲失稳。 对比杆(1) 结构(2)失稳临界载荷 作业:9-4,9-8 (旧书) 10-4,10-8 (新书) 11-4,11-8 (新书) 谢谢 第十章 压杆稳定问题 上讲回顾 压杆稳定性 受压杆件保持初始直线平衡状态的能力 临界载荷Fcr: 压杆直线形式的平衡由稳定转变为不稳定时的轴向压力值。 稳定性的概念与失稳的后果 稳定性——保持原有平衡形式的能力 弹性压杆临界载荷的欧拉公式 欧拉公式的意义(内因与外因)与适用范围 刚杆压杆弹簧系统与弹性压杆的区别与联系 §10-3 两端非铰支细长压杆的临界载荷 第十章 压杆稳定问题 §10-3 两端非铰支细长压杆的临界载荷 ? 解析法确定临界载荷:铰支-固支压杆 ? 类比法确定临界载荷 ? 相当长度与长度因素 ? 例题 一、解析法确定临界载荷 F A B F A B 根据微弯临界平衡状态建立微分方程 令 1. 固支-自由压杆 F x M F 通解: 考虑位移边界条件: F A B 存在非零解的条件: 取n=1, 得固支-自由压杆的临界载荷: F A B 存在非零解的条件: 注意到: 得: 2. 一端固支一端铰支细长压杆的临界载荷 F F FR x F w F 根据微弯临界平衡状态建立微分方程 通解: F x 通解: 考虑位移边界条件: F x 存在非零解的条件: F x 总结 1.弹性平衡稳定性的概念 受压杆件保持初始直线平衡状态的能力称为压杆的稳定性;弹性体保持初始平衡状态的能力称为弹性平衡的稳定性。 2.压杆的临界载荷 使压杆直线形式的平衡由稳定转为不稳定的轴向压力值。 3、 两端铰支细长压杆稳定微分方程 4、 两端铰支细长压杆的临界载荷 5、 两端非铰支细长压杆的临界载荷——解析法 力学模型·数学方程·齐次方程的非零解·系数行列式为零 F F F 1. 一端固支一端自由: 二、类比法确定临界载荷 观察:受力与变形与两端铰支压杆左半部分相同 类比:一端固支一端自由长l的压杆的临界载荷等于长2l的对应铰支压杆的临界载荷。 与解析法结果相同 2. 一端固支、一端铰支 Fcr A B Fcr 0.7l Fcr B C Fcr 拐点 A B C 变形曲线观察:与B端相距约0.7l处有一拐点C 类比:拐点C处弯矩为零,将C点坐标转动到变形前位置,BC段类比铰支压杆。 近似性讨论:由于变形后拐点C离开轴线,B处有约束反力,小变形条件下很小。 3. 两端固支压杆: 拐点 拐点 三、欧拉公式的统一表达式: ml ——相当长度:相当的两端铰支压杆的长度 m——长度因数:支持方式对临界载荷的影响 欧拉公式可以写成统一形式: 常见支承的压杆稳定问题中,其控制方程均为弹性梁弯曲方程(计及了轴向压力的影响)。当控制方程用二阶线性常系数微分方程描述时,它们的齐次部分完全相同,区别只是非齐次项。可以发现简支压杆(欧拉问题)的控制方程最简单,其非齐次项为零。从微分方程解的表达式来看,简支压杆的解仅仅对应了齐次部分。而其他情况还要考虑非齐次部分的特解,因而可以认为简支压杆是压杆稳定问题的最基本模式。显然其他支承的压杆与简支压杆应该存在某种内在联系,这种联系可通过有效长度来体现。 从数学观点看,压杆微分方程与梁弯曲方程有着根本区别:前者是本征值问题,其本征函数(即屈曲模态)均含有一个不确定的系数(如最大挠度等)。其物理根源是在临界载荷作用下,压杆处于中性平衡状态(或称为随遇平衡状态),所以即使对应一定的屈曲模态,位移的大小是不确定的。与梁不同,梁弯曲时载荷与挠度无关,挠度是完全确定的。(如果考虑大挠度问题,位移的大小是确定的) 解:(a)研究刚杆AC的临界平衡 例: 刚杆(蝶形)弹簧系统,求临界载荷。 (a) A B C (b) A B C A C BC给与AC的反力为F(二力杆,系统小变形) 弹簧力为kd=klq A点与力线F的距离l·2q 由对A的力矩平衡 解:(b)研究刚杆AC的临界平衡 例: 刚杆(蝶形)弹簧系统,求临界载荷。 (a) A B C (b) A B C 扭簧力为k*·2q A点距力线F为l·q 由对A的力矩平衡 C A q (b) A B C 大变形的解 C A q 人体躯干与四肢完全可以简化为刚杆-弹簧模型,刚杆为骨骼,弹簧为关节肌肉群。为了保证人体举重姿势平衡状态的稳定性,其所能承受的重量是有上限的:该重量与关节肌肉群的刚度成正比,与骨骼长度成反比。
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