《概率论与数理统计讲义.doc

第一章 随机事件和概率 第一节 基本概念 1、排列组合初步 （1）排列组合公式 从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。 从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。 例1．1：方程 A．? 4 B． 3 C． 2 D． 1A联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？ (2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 (3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。 例1．3：从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？ 例1．4：6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？ 例1．5：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法 A．120种 B．140种 C．160种 D．180种 (4)一些常见排列 ① 特殊排列 ② 相邻 ③ 彼此隔开 ④ 顺序一定和不可分辨 例1．6：晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？ ①3个舞蹈节目排在一起； ②3个舞蹈节目彼此隔开； ③3个舞蹈节目先后顺序一定。 例1．7：4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？ 例1．8：5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？ 重复排列和非重复排列（有序） 例1．9：5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？ 对立事件 例1．10：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？ 例1．11：15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？ 例1．12：有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？ 顺序问题 例1．13：3白球，2黑球，先后取2球，放回，2白的种数？（有序） 例1．14：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，2白的种数？（有序） 例1．15：3白球，2黑球，任取2球，2白的种数？（无序） 2、随机试验、随机事件及其运算 （1）随机试验和随机事件 如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。 例如：掷一枚硬币，出现正面及出现反面；掷一颗骰子，出现“1”点、“5”点和出现偶数点都是随机事件；电话接线员在上午9时到10时接到的电话呼唤次数（泊松分布）；对某一目标发射一发炮弹，弹着点到目标的距离为0.1米、0.5米及1米到3米之间都是随机事件（正态分布）。 在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质： 每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； 任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示，例如（离散）。基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。 一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是的子集。 如果某个是事件A的组成部分，即这个在事件A中出现，记为。如果在一次试验中所出现的有，则称在这次试验中事件A发生。 如果不是事件A的组成部分，就记为。在一次试验中，所出现的有，则称此次试验A没有发生。 为必然事件，?为不可能事件。 （2）事件的关系与运算 ①关系： 如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）： 如果同时有，，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。 A、B中至少有一个发生的事件：AB，或者A+B。 属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者，它表示A发生而B不发生的事件。 A、B同时发生：AB，或者AB。AB=?，则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 -A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。 ②运算： 结合率：A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C 分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC) 德摩根率： ， 例1．16：一口袋中装有五只乒乓球，其中三只是白色的，两只是红色的。现从袋中取球两次，每次一只，取出后不再放回。写出该试验的样本空间。若表示取