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经济数学基础计算题复习资料 一．线性代数 一）矩阵 1．运算法则：（1）m行n列的矩阵与p行q列的矩阵的矩阵在m =p, n =q的条件下可以相加减,加减法则：对应元素相加减. （2）数乘 （3）n行m列的矩阵与p行q列的矩阵的矩阵在m=p的条件下可以相乘，得n行q列的矩阵。乘法法则：行列相乘。 如： （4）A的转置，是A的行列互换。 注：A为对称矩阵的概念 （即A的元素关于A的主对角线对称） 如是对称矩阵 如不是对称矩阵 （5）逆矩阵：矩阵A的逆矩阵用表示，满足。（其中I是相应于A的单位矩阵，即对角线上的数全为1，其余的数全为0的n阶矩阵） 逆矩阵求法：A的元素与对应I的元素左右放置成n行2n列的矩阵（A I），对矩阵(A I)进行初等行变换，变到左半部分为I时右半部分即为。 初等行变换有三种：①交换某二行 ②某一行乘非零常数 ③某一行每一元素都乘同一非零常数加到另一行 （6）矩阵的秩：任一矩阵通过初等行变换转化为阶梯形矩阵后非零行的行数就是矩阵的秩，记为秩（A）或r(A) 阶梯形矩阵满足：1.零行（一行中所有元素都是0）在最下面、 2.非零行中每行最前面0的个数比它前一行的最前面的0的个数多 典型例题： 1．矩阵，求。 下面求的逆矩阵 2． 分析：A是3行3列的矩阵，即3阶矩阵，所以对应I为3阶单位矩阵，即这里 解： 3．设矩阵，是3阶单位矩阵，求． 解：由矩阵减法运算得 利用初等行变换得 　即　 方法总结：先从左到右变，使左下方元素变为0，再从右到左变，使右上方元素变为0且对角线元素为1。 4．设矩阵，，求． 解 所以， = 5．设矩阵，求解矩阵方程． 分析： 即，所以本题还是求逆矩阵，即求 解 因为 所以 且 ． 说明：如果题目改为，则即 所以秩（A）＝3 （也可写成r（A）＝3） 二）线性方程组 1．齐次线性方程组（即方程右边常数项全为0） 解法：第一步 写出系数矩阵A 第二步 对系数矩阵A进行初等行变换（同上面求逆矩阵），化为行简化阶梯形矩阵 第三步 根据行简化阶梯形矩阵写出方程组的一般解。 行简化阶梯形矩阵是每一个非零行的第一个非零元素是1，且其上下都是0的阶梯形矩阵。 例1．求线性方程组 的一般解． 一般解为：（其中，是自由未知量） 2．非齐次线性方程组（即方程右边常数项不全为0） 解法：第一步 写出增广矩阵，即系数矩阵A再加上一列常数列 第二步 对增广矩阵进行初等行变换（同上面求逆矩阵），化为行简化阶梯形矩阵 第三步 根据行简阶梯形矩阵写出方程组的一般解。 例：求线性方程组的一般解． 解： 于是方程组的一般解是（是自由未知量） 3．含参数的齐次方程组 用方程组的系数矩阵A的秩（即通过初等行变换变为阶梯形后非零行的行数）小于未知量的个数时，方程组有非零解来确定参数的值，然后写出一般解。 例：求当λ取何值时方程组有非零解？并求出非零解。 解：将方程的系数矩阵化为阶梯形矩阵 因为方程中末知数有3个，必须A的秩小于3，方程组才会有非零解，所以λ＝5时方程组有非零解 此时 故一般解为 4．含参数的非齐次方程组 用方程组系数矩阵与增广矩阵的秩相等（即两者通过初等行变换变为阶梯形矩阵后非零行的行数相等）时方程组有解来确定参数的值，然后求解。 例：求当取何值时线性方程组有解，在有解的情况下求方程组的一般解． 解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形矩阵 由此可知当时，方程组有解． 此时 得方程组的一般解为其中是自由未知量． 二．应用题 1．主要有两大类，求平均成本及平均成本最低，求总利润和总利润最高。 2．名字解释 总成本：固定成本加可变成本 边际成本：总成本的导数 总收益：生产的产品销售后得到的收入 边际收益：总收益的导数数 总利润：总收益减去总成本 边际利润：总收益的导数或边际收益减去边际成本 3．已知总成本求边际成本就是求总成本的导数，已知边际成本求总成本就是求边际成本的积