《数值模拟导论》讲义第十四讲有限体积法郑百林.ppt

数值模拟导论(INS)（ Introduction to Numerical Simulation ） 第十四讲 有限体积法 (Finite Volume Method) 主讲教师 郑百林 (Lecturer Zheng Bailin) 助理教师 张锴 李泳 杨彪 何旅洋 王琪(TA Zhang Kai, Li Yong, Yang Biao , He Lvyang Wang Qi) Institute of Applied Mechanics School of Aerospace Engineering and Applied Mechanics 绪论(Abstract) 有限体积法的基本概念 (The Basic Concept of Finite Volume Method) 一维Euler方程的有限体积法 ( The Finite Volume Method of One-dimensional Euler Equations ) 多维问题的有限体积法 (Finite Volume Method of Multidimensional Problems) 有限体积法 有限体积法主要优势： 处理复杂网格 差分法处理复杂外形 —— 坐标变换 坐标变换函数必须足够光滑—— 否则损失精度 实际问题： 外形复杂， 光滑的结构网格生成困难 差分法 有限体积法 优点 简单、计算量小、易于提高精度 本身包含几何信息，易处理复杂网格 不足 差分离散与几何解耦，难以处理复杂网格 复杂、不易提高精度 1. 有限体积法的基本概念 实质： 把几何信息包含于离散过程中 j-1 j j+1 j-1/2 j+1/2 1. 全离散型过程 含义： f在j+1/2点的值 （注意与差分法的区别） 在控制体上积分原方程 定义： 空间平均 时间平均 精确推导，不含误差 积分（精确） 重构（Reconstruction) 有限差分法的离散：数值微分过程 有限体积法的离散：数值积分过程 积分方程 离散化 反演（evolution) (1) 重构过程 A. 零阶重构，假设分片常数 j-1 B. 线性重构，假设分片线性函数 零阶重构与一阶重构示意图 j j+1 or or 或其他方法 C. 更高阶的重构例如: 分片二次函数 （PPM）, WENO等 重构是有限体积的空间离散化过程，有多种方法 （2） 演化过程 （以线性方程为例） 需要得知时间演化信息，通常利用特征方程 若采用零阶重构： 则： 假设时间步长足够小 则方程为： 等价于一阶迎风差分 Riemann解 若采用线性重构 若 Warming-Beam Lax-Wendroff 0阶重构—— 1阶精度 线性重构—— 2阶精度 一维均匀网格的有限体积法等价于有限差分法 Euler方程： 演化过程可通过Riemann解或近似Riemann解进行 2. 半离散方法 全离散： 积分方程 ? 代数方程 （守恒性好，但复杂） 半离散： 积分方程 ? 常微分方程 （简便，便于使用R-K等成熟方法） 仅空间积分 f 在j+1/2点的值，仍需要使用周围点 进行插值 通常无法精确计算， 可采用近似值 代替 等价于二阶中心差分 半离散 j-1 j j+1 j-1/2 j+1/2 重构 2. 一维Euler方程的有限体积法 j-1 j j+1 j-1/2 j+1/2 半离散 1. 重构 控制体积 j-1 j j+1 左重构值 右重构值 选择不同的模板会得到不同的重构方案 向左偏的模板产生 向右偏的模板产生 差分法—— 同一点的导数可使用向前差分和向后差分，根据特征方向选择之 例如： 0阶重构 1阶单边重构 根据特征方向，选择左通量或右通量 途径1： FVS 途径2：FDS …… 2. 分裂方法 （1）: FVS方法 （流通矢量分裂 —— 逐点分裂） 具体方法： Steger-Warming 分裂 Lax-Friedrichs分裂