压杆的平衡稳定性与压杆设计方喻飞.ppt

* 长江大学 长江大学 第二篇　弹性静力学 长 江 大 学城建学院土木工程系 《工程力学》课程之 讲授：张系斌 压杆的平衡稳定性与压杆设计 承受轴向压力的细长杆，当压力达到或超过一定限度时，杆件可能突然变弯而失去工作能力，这种现象称为丧失稳定，简称 失稳或屈曲。杆件的失稳往往产生很大的变形甚至导致整个结构破坏。 工程背景 弹性稳定的基本概念 压杆保持或恢复原有平衡状态的能力称为压杆的稳定性。 工程背景 弹性稳定性分析 PPcr: 设杆受轴向压力p 作用而处于直线平衡状态，如以一微小横向干扰力使杆微弯，则在去掉干扰力后，杆仍能恢复其原有的直线形状的平衡，这时压杆直线形式的平衡是“稳定的”； PPcr : 在扰动除去后，压杆不能恢复到原有直线形状的平衡，而在某一弯曲状态下保持平衡，这时压杆的直线形式的平衡则是“不稳定的”。 弯曲平衡形式 P P y0 P P y0 pcr A y0 p B D P E C F 对心理想直杆 1. PPcr，稳定平衡对应竖直线 AB 段。 2. 压力P 超过一定数值后，在其无穷小邻域内，压杆具有两种平衡形式： 3. 分界点（B点），称为临界点，临界点所对应的载荷称为“临界载荷”。 弹性稳定的基本概念 直线平衡形式（BD 段） 弯曲平衡形式（BC 段） 但直线平衡形式是“不稳定”的。 在扰动作用下，直线平衡形式转变为弯曲平衡形式，扰动除去后，不能恢复到直线平衡形式的过程，称为屈曲或失稳。 屈曲（Buckling) 与失稳 FPFPcr 一种平衡路径 p pcr p y0 1. 两端铰支细长压杆的欧拉临界载荷 理想压杆的概念 完全对中等截面； 载荷作用无偏心； 光滑（球形）铰链。 在线弹性、小变形条件下，有挠曲线近似微分方程： 考察微弯状态下局部压杆的平衡 P y P x M x y A L 确定临界载荷的平衡方法 注意：压杆的微弯必定发生在抗弯能力最小的纵向截面 内，所以惯性矩I 应为截面最小的惯性矩Imin。 边界条件: y(0)=0 , y(l)=0 (两端绞支)， 即 齐次方程有非零解的条件为： 讨论：若取零解，知各截面的挠度均应为零，即表明压杆没有弯曲，仍保持直线形状的平衡，这与杆在微弯状态下保持平衡的前提不符。 通解为： 引入记号： ， 改写为： 压杆承受的压力达到临界压力时的微弯曲线，称为失稳波形或失稳形式。 由此得到两个重要结果： ? 临界载荷 ? 屈曲位移函数 最小临界载荷 l2 ?2EI Pcr = —欧拉公式 n=1时的失稳波形 l2 n2?2EI Pcr= y(x)=Asin n?x l 2.一端固支一端绞支压杆的欧拉临界压力 在线弹性、小变形下，近似微分方程： 边界条件: y(0)=0 , q(0)=0, y(l)=0 ， 即 A B P y RB 拐点 y l x 引入记号： ，改写为： 通解为： A，B，RB / P不能同时为零 ，即行列式： 一端固支一端绞支细长压杆的 欧拉临界压力公式 A B P y RB x 拐点 y l 0.3l 3. 各种杆端约束情况下压杆的欧拉临界压力 2 一端固定，一端自由 1 两端绞支 0.7 一端固定，一端绞支 0.5 两端固定 长度系数 压杆端部约束情况 以两端铰支压杆的挠曲线（半波正弦曲线）为基本情况，将其与其它约束情况下的挠曲线对比，则得欧拉公式的一般形式为： 式中，m为压杆的长度系数, 称为相当长度。 ? 问题的提出 能不能应用 欧拉公式计算 四根压杆的临 界载荷？ 四根压杆是不是都会发生弹性屈曲？ 材料和直 径均相同 柔度 非弹性屈曲 ? 三类不同的压杆 ? 细长杆—发生弹性屈曲； ? 中长杆—发生弹塑性屈曲； ? 粗短杆—不发生屈曲，而发生 屈服。 ? 柔 度 从弹性屈曲出发 定义 — 柔度（长细比） (Slenderness) —截面的惯性半径 λ是一个无量纲的量，它综合反映了压杆长度、约束条件、截面形状和尺寸对压杆临界应力的影响。 1.细长杆的临界应力 欧拉公式的适用范围 2.中长杆的临界应力（经验公式） 3.短杆的临界应力（强度问题） 适用范围 欧拉公式的适用范围 临界应力总图 临界应力总图 细长杆 中长杆 粗短杆 细长杆 (???p) 发生弹性屈曲 中长杆 (?s? ? ?p) 发生弹塑性屈曲 粗短杆 (? ?s) 不发生屈曲，而发生屈服 例11?1 截面为 120mm?200mm 的矩形木柱，长l=7m，材料的弹