理论力学第版点的运动学.ppt

* * 第七章 点的运动学 第一节 矢量法 运动学： 研究物体在运动过程中的几何量随时间的变化规律 运 动 学 运动学中涉及的主要参量： 位置 位移 路程 轨迹 速度 加速度等 运动学可分为点的运动学和刚体运动学 一、矢量法中点的运动方程 运动方程： 位置参量与时间的函数关系 第七章 点的运动学 第一节 矢量法 一、矢量法中点的运动方程 运动方程： 位置参量与时间的函数关系 在矢量法中，用由固定参考 来确定动点 M 的位置。 矢量法中点的运动方程为 点 O 指向动点 M 的矢径 ◆ 矢径 端点的轨迹即为动点 M 的运动轨迹 二、点的速度 ?t 时间内的位移为 ?t 时间内的平均速度： t 时刻的瞬时速度： 速度方向： 一定沿着点在轨迹处的切线方向 三、点的加速度 ?t 时间内的速度增量为 ?t 时间内的平均加速度： t 时刻的瞬时加速度： 加速度方向： 一定指向轨迹的凹向 第二节 直角坐标法 一、直角坐标法中点的运动方程 直角坐标法中点的运动方程为 利用直角坐标来确定动点的位置 2）由运动方程消去时间参数 t 即得动点的轨迹方程 说明： 1）由运动方程可直接确定动点的位置与位移 二、点的速度 在直角坐标法中，点的速度 其中，点的速度在 x 轴、y 轴上的投影 根据速度投影即可方便确定速度的大小和方向 三、点的加速度 在直角坐标法中，点的加速度 其中，点的加速度在 x 轴、y 轴上的投影 根据加速度投影即可方便确定加速度的大小和方向 [例1] 如图，椭圆规的曲柄 OC 可绕定轴 O 转动，其端点 C 与规尺 AB 的中点铰接，规尺的两端分别在互相垂直的滑槽中运动，P 为规尺上的一点。已知 OC = AC = BC = l、PC = d 、? = ?t（ ? 为常数），试求点 P 的运动方程、运动轨迹、速度和加速度。 解： 取图示直角坐标系，由几何 关系得点 P 的运动方程为 从运动方程中消去时间参数 t ， 得点 P 的轨迹方程 可见其轨迹为椭圆 点 P 的速度在 x、y 轴上的投影 故得点 P 速度的大小 方向余弦 点 P 的加速度在 x、y 轴上的投影 故得点 P 加速度的大小 方向余弦 [例2] 如图，套管 A 由绕过定滑轮 B 的绳索牵引而沿导轨上升，滑轮中心到导轨的距离为 l 。当绳索以等速 v0 下拉时，若不计滑轮尺寸，试求套管 A 的速度和加速度（表示为 x 的函数）。 解： 将上式两边对时间 t 求导，有 解得套管的速度为 套管 A 沿导轨作直线运动，选取 x 轴，并令AB = s，由几何关系得 联立上述二式，并注意到 ， 其中，负号表示套管A 的速度指向与 x 轴指向相反，即向上 其中，负号表示套管A 的加速度指向与 x 轴指向相反，即向上 将上式再对时间 t 求导，得套管 A 的 加速度 [例3] 如图，液压减震器的活塞在套筒内作直线往复运动，已知活塞的初速度为 v0 ，活塞的加速度 a = － kv ，其中，比例系数 k 为常数、v 为活塞速度。试求活塞的运动规律。 解： 根据题意，由 得 对上式分离变量后积分 得活塞速度 x 轴方向作直线往复运动 取图示坐标轴， 活塞沿 再将 代入上式，分 离变量后积分 解得活塞的运动方程为 其中，x0 为活塞的初始位置 第三节 自然法 一、自然法中点的运动方程 自然法中点的运动方程为 利用动点的已知轨迹作为参考系 2）由运动方程可确定点的位置、位移与路程 说明： 1）s 是弧坐标，为位置参数 已知点的运动轨迹 适用前提： 来确定其位置 二、点的速度 引入自然坐标系： 沿切向的单位矢量，指向 弧坐标正向 沿法向的单位矢量，指向 曲率中心 注意：自然坐标系是运动坐标系 在自然法中，点的速度 其中， 为速度在切向轴 上投影，若 v ? 0，速度指向弧坐标正向；若 v ? 0，速度则指向弧坐标负向。 三、点的加速度 在自然法中，点的加速度 其中，切向加速度（加速度在切向轴的投影） 法向加速度（加速度在法向轴的投影） 全加速度大小 全加速度方位角 说明： 1）at ＞0，切向加速度指向弧坐标正向，at ＜0，则反之 2）an 恒大于零，法向加速度恒指向曲率中心 讨论： 1）若 at = 0 ，则点作匀速运动 2）若 a n = 0 ，则点作直线运动 3）若 at = 0 且 a n = 0 ，则点作匀速直线运动 4）若 at = 0 且 a n = Const ，则点作匀速圆周运动 说明： 1）切向加速度 at 反映了速度大小相对于时间的变化率 2）法向加速度 an 反映了速度方向相对于时间的变化率 3）v 与 at 同号，点作加速运动 v 与 at 异号，点作减速运动 四、匀变速曲线运动三公式 匀变速： 注意： 1