用函数观点看一元二次方程(用).ppt

* 求一元二次方程的根 二次函数与一元二次方程的关系（1） 确定二次函数图象与 x 轴的交点坐标 y=ax2+bx+c（a≠0） ax2+bx+c=0（a≠0） 下列二次函数的图象与 x 轴有交点吗? 若有，求出交点坐标. （1） y = 2x2＋x－3 （2） y = 4x2 －4x +1 （3） y = x2 – x+ 1 探究 x y o 令 y= 0，解一元二次方程的根 （1） y = 2x2＋x－3 解：当 y = 0 时， 2x2＋x－3 = 0 （2x＋3）（x－1） = 0 x 1 = ，x 2 = 1 － 3 2 所以与 x 轴有交点，有两个交点。 x y o y =a（x－x1）（x－ x 1） 二次函数的交点式 （2） y = 4x2 －4x +1 解：当 y = 0 时， 4x2 －4x +1 = 0 （2x－1）2 = 0 x 1 = x 2 = 所以与 x 轴有一个交点。 1 2 x y o （3） y = x2 – x+ 1 解：当 y = 0 时， x2 – x+ 1 = 0 所以与 x 轴没有交点。 x y o 因为（-1）2－4×1×1 = －3 0 有两个根 有一个根（两个相同的根） 没有根 有两个交点 有一个交点 没有交点 b2 – 4ac 0 b2 – 4ac = 0 b2 – 4ac 0 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点的三种情况与一元二次方程根的关系 ax2+bx+c = 0 的根 y=ax2+bx+c 的图象与x轴 若抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴有交点，则________________ 。 b2 – 4ac ≥ 0 一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0）的根 图象 二次函数 y=ax2+bx+c （a≠0） 判别式： b2-4ac x y O 与x轴有两个不 同的交点 （x1，0） （x2，0） 有两个不同的解x=x1，x=x2 b2-4ac＞0 x y O 与x轴有唯一个 交点 有两个相等的解 x1=x2= b2-4ac=0 x y O 与x轴没有 交点 没有实数根 b2-4ac＜0 已知二次函数，求自变量的值 解一元二次方程的根 二次函数与一元二次方程的关系（2） 以 40 m /s的速度将小球沿与地面成 30°角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间 t (单位:s)之间具有关系：h= 20 t – 5 t 2 考虑下列问题: （1）球的飞行高度能否达到 15 m? 若能，需要多少时间? （2）球的飞行高度能否达到 20 m? 若能，需要多少时间? （3）球的飞行高度能否达到 20.5 m?为什么？ （4）球从飞出到落地要用多少时间? 实际问题 解：（1）当 h = 15 时， 20 t – 5 t 2 = 15 t 2 － 4 t ＋3 = 0 t 1 = 1，t 2 = 3 当球飞行 1s 和 3s 时，它的高度为 15m . 1s 3s 15 m （2）当 h = 20 时， 20 t – 5 t 2 = 20 t 2 － 4 t ＋4 = 0 t 1 = t 2 = 2 当球飞行 2s 时，它的高度为 20m . 2s 20 m （3）当 h = 20.5 时， 20 t – 5 t 2 = 20.5 t 2 － 4 t ＋4.1 = 0 因为(－4)2－4×4.1 0 ，所以方程无实根。 球的飞行高度达不到 20.5 m. 20.5 m （4）当 h = 0 时， 20 t – 5 t 2 = 0 t 2 － 4 t = 0 t 1 = 0，t 2 = 4 当球飞行 0s 和 4s 时，它的高度为 0m ，即 0s时，球从地面飞出，4s 时球落回地面。 0s 4s 0 m 例如,已知二次函数y=-X2+4x的值为3,求自变量x的值. 就是求方程3=-X2+4x的解, 例如,解方程X2-4x+3=0 就是已知二次函数y=X2-4x+3的值为0,求自变量x的值. 一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1,x2 ,则抛物线 y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标是(x1,0),(x2,0) 方法: (1)先作出图象; (2)写出交点的坐标; （-1.3、0）、（2.3、0） (3)得出方程的解. x ≈-1.3，x ≈2.3。 利用二次函数的图象求方程x2-x-3=0的实数根（精确到0.1）