电磁场导论.ppt

注⑴用差商代替微商的可能性，可通过泰勒级数展开加以检验。 对0点的电位，沿x方向应用泰勒级数展开，可得 对于节点1，x=x0+h；节点3，x=x0－h，则有： 略去h4以后各项，便得 同样，沿y方向进行泰勒级数展开，可得 注⑵边界节点的拉普拉斯方程的差分形式推导 同理 代入拉普拉斯方程，即得： 0 1 3 4 2 qh ph h h 图1-15 1.6.2差分方程组的解 求解方程时，由于实际问题的节点数很多，往往可达几百甚 至几千，通常解联立方程组的方法(如行列式法\消去法等)便不再 适用。好在每一个方程中只包含很少几项，可以采用逐次近似的 方法求解。 ⑴同步迭代法 首先，任意给定在网格区域内各个节点的位值 ，作为 解的零次近似值，其中上角标（0），表示零次近似值；下脚标 i、j表示第i列第j行的交点。把这组数代入差分方程，便可求得一 次近似值 再将一次近似值代回原方程，可求得二次近似值，············。一 般可得 当两次相邻迭代解之间的误差小于某个给定值W时，即： 就可结束迭代过程，而取 为所求的解。 有上式可见，在计算每一次迭代解的新值时，要用到前次迭 代解的旧值，在用计算机求解时，要有两套存储单元。此外，收 敛的速度也较慢，所以要加以改进。 ⑵高斯—塞德尔迭代法（又称李普曼法、异步迭代法） 这个方法的特点为：在 求第k+1次近似值时，如果其 相邻点的第k+1次新值已经求 得，就可用此新值代替第k次 旧值代入差分方程求解。所以 相应的迭代公式为 7 6 4 5 8 3 2 1 o y x 图1-16 i j 根据上述特点，在用计算机求解时，只要用一套存储单元来存储 网格节点的位值。同时，也由上式可知，在迭代时有一半是用了 新值，所以，收敛速度要快一倍左右。 ⑶逐次超松弛法 这是在上述高—塞迭代法的基础上，再加上超松弛的措施， 以加快收敛速度。相应的迭代格式为 式中α称为加速收敛因子（超松弛因子）。选择不同的α，可 以有不同的收敛速度。通常α在1~2之间选取。 §1-7 镜像法和电轴法 直接求解泊松方程或拉普拉斯方程往往是十分繁复和困难 的。在某些边界较为特殊的情况下，镜象法和电轴法巧妙地应 用唯一性定理，使某些静电场问题很容易得到解决。 这两种计算方法的实质：把实际上分片均匀介质看成是均匀的，并在所研究的场域边界外的适当地点用虚设的较简单的电荷分布来代替实际边界上复杂的电荷分布。 根据静电场解的唯一性定理，经过这样的代替而求出的该区域 内的电场必与代替前该区域内的电场相同。 1.7.1镜像法 介绍三个镜像法的典型问题 ㈠点电荷对无限大导体平面的电场 图1-17所示介电常数为ε0的介 质内放置一点电荷q并邻近某无限 大导电平面的情形，由于该导体平 面伸展至无限远，故其各处电位都 应与无限远处的电位相同，即各处 电位均为零。现在要计算导电平 面上方区域的电场， ε0 S +q（d,0,0） 图1-17 x 根据电场迭加原理，上方区域中任意点的电位φ可以 看成是点电荷在该点的电位与感应电荷σ在该点的电位的迭加， 显然，在上方区域内，电位φ满足拉氏方程，而在导电平面上 应满足边界条件φ=0，只要在导体平面的下方与点电荷q对称 的点（-d,0,0）处放置一点电荷-q（称为镜像电荷），并把导体 平面撤去，整个空间充满介电常数为ε0的电介质（如图1-18所 示），则原来电荷q和镜像电荷-q共同在平板上方空间产生的电 位分布满足拉氏方程和原有的边界条件，故任意一点P（x,y,z） 的电位为 ε0 S +q（d,0,0） 图1-18 x -q（-d,0,0） P（x,y,z） ε0 必须注意，采用 这样的镜象电荷，实 质上是代替了导电平 面上分布的感应电荷 的作用，因此，上述 公式的适用区域是导 体平面S上方的空间， 而S面下方的空间实际 上不存在电场。 ㈡点电荷对接地导体球面的镜像问题 如图1-19，在半径为R的接地导体球外，距球心为d处有一 点电荷q。根据唯一性定理，球外电位应满足的条件是： θ -q’ q d R b o P 图1-19 ⑴除点电荷q所在点外， 空间中电位应满足拉普拉斯 方程 ； ⑵当r→∞时， ⑶因导体球接地，在球 面上 θ -q’ q d R b o P 图1-19