1.1 定积分的背景——面积和路程问题.ppt

5.求由曲线y=1+x2与直线x=0,x=2，y=0所围成的平面图形的面积的估计值，并写出估计误差.（将区间10等分） 解析 把区间［0,2］10等分，以每一个小区间的左、右端点的函数值作为小矩形的高，得到面积的不足估计值s和过剩估计值S如下： s=［(1+02)+(1+0.22)+(1+0.42)+(1+0.62)+(1+0.82) +(1+1.02) +(1+1.22)+(1+1.42)+(1+1.62)+(1+1.82)］×0.2=4.28, S=［(1+0.22)+(1+0.42)+(1+0.62)+(1+0.82)+(1+1.02) +(1+1.22)+(1+1.42)+(1+1.62)+(1+1.82)+(1+2.02)］×0.2=5.08 估计误差不会超过S-s=0.8. 1.曲边梯形的定义： 分割区间 过剩估计值 不足估计值 逼近所求值 2.求面积和路程问题的步骤： 我们把由直线 x = a，x = b (a ≠ b)， y = 0和曲 线 y = f(x) 所围成的图形叫作曲边梯形. 回顾本节课你有什么收获？ y = f(x) b a x y O A ? A1+ A2 + ? ? ? + An 将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替 小曲边梯形的面积， 于是曲边梯形的面积A近似为 A1 Ai An —— 以直代曲,无限逼近 如何求曲边梯形的面积 ? 第四章 定积分 §1 定积分的概念 1.1 定积分的背景——面积和路程问题 以上由曲线围成的图形的面积该怎样计算？ 我们学过如何求正方形、长方形、三角形等的面积，这些图形都是由直线段围成的.那么，如何求曲线围成的平面图形的面积呢？这就是定积分要解决的问题. 定积分在科学研究和实际生活中都有非常广泛的应用.本节我们将了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念. 1.了解定积分的实际背景. 2.理解“以直代曲”“无限分割”的思想，初步掌握求曲边梯形面积的“三步曲”——“分割、求和、近似估值”.（重点） 3.了解“误差估计”的方法. (难点） x o y 图中阴影部分是由曲线段和直线段围成的，通常称这样的平面图形为曲边梯形. a b 曲边梯形定义： 我们把由直线 x = a，x =b (a≠b)， y = 0和曲线y = f (x) 所围成的图形叫作曲边梯形. 探究点1 曲边梯形的定义 对曲边梯形概念的理解： （1）曲边梯形是由曲线段和直线段所围成的平面 图形. （2）曲边梯形与“直边图形”的主要区别在于前者有一边是曲线段而“直边图形”的所有边都是直线段. 探究点2 估计曲边梯形的面积 我们曾经用正多边形逼近圆的方法 (即“以直代曲”的思想) 计算出了圆的面积，能否也用直边形(如矩形)逼近曲边梯形的方法求阴影部分的面积呢？ 割圆术 问题1 图中阴影部分是由抛物线 ，直线 以及 x 轴所围成的平面图形，试估计这个曲边梯形的面积 S . x o y 1 x o y 1 分析 首先，将区间[0，1]5等分，如图所示. 图 (1) 中，所有小矩形的面积之和（记为S1)显然大于所求的曲边梯形的面积，我们称S1为S的过剩估计值，有 （1） x o y 1 图 (2) 中，所有阴影小矩形的面积之和(记为s1)显然小于所求曲边梯形的面积，我们称s1为S的不足估计值，有 . （2） x o y 1 思考：我们可以用S1或s1近似表示S，但是都存在 误差，误差有多大呢？ 提示：二者之差为S1-s1=0.2 如图(3)中阴影所示，无论用S1还是用s1来表示曲边梯形的面积，误差都不会超过0.2. （3） x o y 1 (4) 为了减小误差，我们将区间[0，1] 10等分，则 所求面积的过剩估计值为 不足估计值为 二者的差值为S2-s2=0.1，此时，无论用S2还是用s2来表示S，误差都不超过0.1. 结论：区间分得越细，误差越小.当被分割成的小区间的长度趋于0时，过剩估计值和不足估计值都会趋于曲边梯形的面积. . . 通过下面的演示我们如何做到使误差小于0.01. 输入数字，点击确定. 练一练： 求曲线y=x3与直线x=1,y=0所围成的平面图形的面积的估计值，并写出估计误差.（把区间[0，1] 5等分来估计） 解析 把区间 [0，1] 5等分，以每一个小区间 左右端点的函数值作为小矩形的高，得到不足 估计值 和过剩估计值 ，如下： 估计误差不会超过 - =0.2 探究点3 估计变速运动的路程 已知匀速运动物体的速度v和运动的时间t,我们可以求出它走过的路程s=vt,那么如何求非匀速运