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24.2.2圆的基本性质.ppt
连接OA,OB, AB是⊙O的一条弦,且AM=BM. 你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由. 例1、已知:如图在⊙O中,弦AB的长是8cm,圆心O到AB的距离为3cm,求⊙O的半径 例2. 1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m). 4.已知如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C、D两点。 求证:AC=BD 6. 如图,一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径. 如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相等吗? 提示: 这两条弦在圆中位置有两种情况: 垂径定理的应用 在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后,截面如图所示.若油面宽AB = 600mm,求油的最大深度. 垂径定理的应用 在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后,截面如图所示.若油面宽AB = 600mm,求油的最大深度. 船能过拱桥吗 2 . 如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗? 船能过拱桥吗 解:如图,用 表示桥拱, 所在圆的圆心为O,半径为Rm, 经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 相交于点C.根 据垂径定理,D是AB的中点,C是 的中点,CD就是拱高. 由题设得 * 24.2 圆的基本性质 -----垂直分弦 探究1 书P14 1.圆是轴对称图形吗? 你是用什么方法解决这个问题的? 圆是轴对称图形. 其对称轴是任意一条过圆心的直线. 如果是,它的对称轴是什么? 用折叠的方法即可解决这个问题. 你能找到多少条对称轴? ●O 操作:CD是圆0的直径,过直径上任一点E作弦AB⊥CD,将圆0沿CD对折,比较图中的线段和弧,你有什么发现? 猜想: AE=BE, AD=BD,AC=BC ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 探究2、3 书P15 B A O D C E ●O A B C D M└ 则OA=OB. ∴AM=BM. ∴点A和点B关于CD对称. ∵⊙O关于直径CD对称, ∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合, ⌒ ⌒ AC和BC重合, ⌒ ⌒ AD和BD重合 ⌒ ⌒ ∴ AC= BC, ⌒ ⌒ AD = BD. ∵CD⊥AB于M 证明: 已知:CD是⊙O的直径,AB是⊙O的弦, 且CD⊥AB于M, 求证:AM=BM, AC =BC, AD =BD ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 叠 合 法 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧。 CD是直径 CD⊥AB AE = BE ⌒ ⌒ AC= BC ⌒ ⌒ AD= BD 几何语言表达: 归纳: 垂径定理 B A O D C E CD⊥AB, 过点M作直径CD. ●O 发现图中有: C D CD是直径 AM=BM 可推得 ⌒ ⌒ AC=BC, ⌒ ⌒ AD=BD. ● M A B ┗ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. 归纳:垂径定理的推论 根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说。如果具备 (1)过圆心 (2)垂直于弦 (3)平分弦 (4)平分弦所对的优弧 (5)平分弦所对的劣弧 上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论. 注 意 下列图形是否具备垂径定理的条件? O E D C A B 判 别 真 伪 ? o A B E └ 解:连结OA,作OE⊥AB于E, 则 OE=3cm, AE=BE=0.5AB=0.5×8=4(cm) 在Rt△OAE 中有OA= = =5(cm) ∴ ⊙O的半径为5cm。 反思:从例1看出圆的半径OA,圆心到弦的垂线段OE及半弦长AE构成Rt△AOE.把垂径定理和勾股定理结合起来,解决这类问题就显得很容易了。 典例解析 R D 7.2 37.4 赵州石拱桥 典例解析 解:由题设得 在Rt△OAD中,由勾股定理,得 解得 R≈27.9(m). 答:赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m. R D 37.4 7.2 典例解析 1.在⊙O中,若CD ⊥AB于M,AB为直径,则下列结论不正确的是(
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