28.4垂径定理郑晓红.ppt

28.4垂径定理 学习目标 探索并掌握垂径定理 运用垂径定理解决相应问题 Ⅱ．探究新知 圆是轴对称图形吗? 如果是，它的对称轴是什么? 你能找到多少条对称轴? 讨论：你是用什么方法解决上述问题的? 探索垂径定理 　　　　 1．在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合． 2．得到一条折痕CD． 3．在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕 的垂线，得到新的折痕，其中，点M是两条折痕的交点，即垂足． 4．将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如图. 归纳： 1.想一想：如下图示，AB是⊙O的弦(不是直径)，作一条平分AB的直径CD，交AB于点M． 2.同学们利用圆纸片动手做一做，然后回答：（1）此图是轴对称图形吗?如果是，其对称轴是什么? （2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由。 知“二”推“三” 如图,在下列五个条件中: 只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论. 赵州石拱桥 例1.　1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m). 船能过拱桥吗 变形题： 如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？ 解:如图,用 表示桥拱, 所在圆的圆心为O,半径为Rm, 经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 相交于点C.根 据垂径定理,D是AB的中点,C是 的中点,CD就是拱高. 由题设得 练一练 在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽AB = 600mm，求油的最大深度. 变形题 在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽AB = 600mm，求油的最大深度. 方法规律 方法总结 * * 驶向胜利的彼岸 问题： 前面我们已探讨过轴对称图形，哪位同学能叙述一下轴对称图形的定义?我们是用什么方法研究轴对称图形的? I．创设问题情境，引入新课 驶向胜利的彼岸 归纳：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线 驶向胜利的彼岸 （一）想一想 问题：（1）右图是轴对称图形吗？ 　　　　　　如果是，其对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些等量关系？ 说一说你的理由。 驶向胜利的彼岸 做一做：按下面的步骤做一做 总结得出垂径定理： 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。 驶向胜利的彼岸 由 ① CD是直径 ② CD⊥AB 可推得 ⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⌒ ⑤AD=BD. ③AM=BM, 2.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有什么关系？为什么？ 证明：过O作OE⊥AB，垂足为E， 则AE＝BE，CE＝DE。 ∴ AE－CE＝BE－DE 即 AC＝BD . A C D B O E 1.在半径为30㎜的⊙O中，弦AB=36㎜，则O到AB的距离是= 。 O A B P 24mm 注意：解决有关弦的问题，过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，也是一种常用辅助线的添法． 由 ① CD是直径 ③ AM=BM 可推得 ⌒ ⌒ ④AC=BC, ②CD⊥AB, ⌒ ⌒ ⑤AD=BD. 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧. 大家谈谈P164 你可以写出相应的命题吗? 相信自己是最棒的! ●O A B C D M└ ① 过圆心的直线, ③ AM=BM, ② CD⊥AB, ⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⌒ ⑤AD=BD. 大家谈谈P164 R D O A B C 37.4m 7.2m 在Rt△OAD中，由勾股定理，得 解得 R≈3.9（m）. 在Rt△ONH中，由勾股定理，得 ∴此货船能顺利通过这座拱桥. OD=R-2.4=3.9-2.4=1.5 DH=OH-OD E D ┌ 600 h=200mm B A O 600 ? 650 D C h=450mm 想一想 已知：如图，直径CD⊥AB，垂足为E . ⑴若半径R = 2 ，AB = , 求OE、DE 的长. ⑵若半径R = 2 ，OE = 1 ，求AB、DE 的长. ⑶由⑴ 、⑵两题的启发，你能总结出什么规律吗？ 对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的距离d、圆半径r、弓形高h，这四个