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《二零一六第三届全国大学生数学竞赛数学类预赛试卷评分标准》.pdf
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试试试题题题参参参考考考答答答案案案
数数数学学学类类类
一一一、、、 (本题 15 分) 已知四点(1 2 7), (4 3 3), (5 −1 6), (√7 √7 0). 试求过这
四点的球面方程.
解解解答答答 设所求球面的球心为(¯ ¯ ¯), 则
(¯ − 1) + (¯ − 2) + (¯ − 7)
= (¯ − 4) + (¯ − 3) + (¯ − 3)
= (¯ − 5) + (¯ + 1) + (¯ − 6)
√ √
= (¯ − 7) + (¯ − 7) + ¯
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (8 分)
即
3¯ + ¯ − 4¯ = −10
4¯ − 3¯ − ¯ = 4
√ √
( 7 − 1)¯ + ( 7 − 2)¯ − 7¯ = −20
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (10 分)
解得(¯ ¯ ¯) = (1 −1 3). 而 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (14 分)
(¯ − 1) + (¯ − 2) + (¯ − 7) = 25
于是所求球面方程为
( − 1) + ( + 1) + ( − 3) = 25
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (15 分)
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二二二、、、(本题10 分) 设 为[0 1] 上的非负连续函数. 求证: 存在 ∈ [0 1],
使得
∫
∏ () ≤ ∏ ()
证证证明明明 记
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