《基本概念和抽象理论2》.pdf

§2 发展方程差分方法的 基本概念和抽象理论 本章內容: 1．区域的离散 2．微分方程的离散 3．隐式格式 4 ．差分格式的相容性，收敛性及稳定性 5．Lax等价性定理 6. Fourier 方法 7. 多层格式稳定性分析 8. 差分格式稳定性的其他研究方法和差分格式 构造的一些其他方法 1．区域的离散 A. 初值问题 u au , t xx  t 0, u u (x)  0 D (x,t ); x , t 0 解域：   xj j x , t n n t  网格，网格点。 x h , t , 其中： x ,t  j, n  n n    格点。 1 B.初边值问题 u u , t 0, 0 x 1, t xx  t 0, u u (x), 0  x 0, u u (t ); x 1, u u (t )  1 1 要求使得存在正整数 , 使得 ， h J Jh 1 其他同前，即要求边值线应为网格线。 C.边值问题 u 0 in ,   u g   为有界区域： 1.在全空间作网格剖分； 2.仅考虑 的网格点。 (1) 内部点：该点和其相邻点均位于中； (2) 边界点：该点有一相邻点不在中。 2 2．微分方程的离散 以对流方程 u au 0, t x  (1) t 0, u u (x)  0 为例，来说明微分方程的离散。 Step 1 模型的来源 Step 2 定解问题的求解 Step 3 离散化 Step 1 模型的来源 a 流体在 轴向上流动，流速为 ，设管道 x 的截面积为 。由微元法建立模型。考虑 S 微元x ,x x  中的流体在时间微元t,t t 的质量的变化情况。 3  x ,t ：质量密度函数，    x ,t t S x  x ,t S x 质量变化＝     ， 原因＝流入－流出