7.4一阶线性微分方程.ppt.pptVIP

第四节 一阶线性微分方程 一、一阶线性微分方程及其解法 (2) 解非齐次方程 例1. 解方程 例2. 有一电路如图所示, 因此所求电流函数为 例5. 设有微分方程 2) 再解定解问题 *二、伯努利 ( Bernoulli )方程 例6. 求方程 作 业 一、一阶线性微分方程及其解法 *二、伯努利方程 1、一阶线性微分方程标准形式: 若 Q(x) ? 0, 若 Q(x) ? 0, 称为非齐次方程 . 称为齐次方程 ; 例如， 线性非齐次方程 非线性 线性齐次方程 2、一阶线性微分方程的解法 引例 考虑一阶线性微分方程 （齐次方程） ① （非齐次方程） ② 求①的通解，并验证 是②的通解. 解: 由分离变量得齐次方程的通解为 . 将 代入②， 方程成立， 故是解. 又因为含有一个任意常数，故是通解. 2、一阶线性微分方程的解法 引例 考虑一阶线性微分方程 （齐次方程） ① （非齐次方程） ② 求①的通解，并验证 是②的通解. 齐次方程通解 非齐次方程的一个解 非齐次方程的通解 齐次方程的通解 （常数变函数） (1) 解齐次方程 分离变量 两边积分得 故通解为 对应齐次方程通解 代入得 设 是原方程的解， 即 两端积分得 齐次方程通解 非齐次方程特解 故原方程的通解 即 常数变易法 解: 先解 即 积分得 即 用常数变易法求特解. 令 则 代入非齐次方程得 解得 故原方程通解为 在闭合回路中, 所有支路上的电压降为 0 电阻 R 和电 ～ 解: 列方程 . 已知经过电阻 R 的电压降为R i 经过 L的电压降为 因此有 即 初始条件: 由回路电压定律: 其中电源 求电流 感 L 都是常量, ～ 解方程: 由初始条件: 得 利用一阶线性方程解的公式可得 ～ 解方程: 利用一阶线性方程解的公式可得 暂态电流 稳态电流 ～ 解的意义: 小结 求解一阶线性微分方程的方法: 1、常数变易法求解一阶线性微分方程的步骤: (1) 将方程化为标准形式，确定 P(x) 和 Q(x)； (2) 求对应的齐次方程的通解 ； (3) 设原方程的通解为 ，代回原方程确定C(x)，从而确定原方程的通解. （常数变易） 2、公式法 例3. 解方程 解: 方法一. 若将y看作是x的函数，显然它关于y不是 线性的，但若将其改写为 则它关于x是一阶非齐次线性方程. 代入公式 ，得 例3. 解方程 解: 方法2. 令x+y=u， 代入原方程，得 两端积分，得 则 y=u-x， 分离变量，得 将u=x+y代入，得 或 例4. 求一连续可导函数 使其满足下列方程: 解: 两边同时对 x 求导，得 利用公式可求出 令 ， 则 由 求得满足积分方程的函数为 其中 试求此方程满足初始条件 的连续解. 解: 1) 先解定解问题 利用通解公式, 得 利用 得 故有 此齐次线性方程的通解为 利用衔接条件得 因此有 3) 原问题的解为 伯努利方程的标准形式: 令 求出此方程通解后, 除方程两边 , 得 换回原变量即得伯努利方程的通解. 解法: (线性方程) 的通解. 解: 令 则方程变形为 其通解为 将 代入, 得原方程通解: * *