中科院2011年高等代数参考解答.pdf

中国科学院2011年硕士学位研究生入学考试高等代 数试题参考解答 高等代数资源博客 February10,2011 1 声明 您现在看到的这份文件来自.本站原创的内容，采用创作共用组 织（Creative Commons）的“公共领域”（Public Domain）许可。即放弃一切权利，全 归公共领域。但涉及到其他版权人的摘录、转载、投稿、翻译等类内容不在此列。 本文的内容仅供学习参考之用,作者不对内容的正确性作任何承诺,作者不对因使用本 文而造成的一切后果承担任何责任. 关于如何使用本文的建议:首先保证自己认真做了一遍题目,否则请不要查看本文.记 住: 别人做是别人的，自己做才是自己的. 作者水平有限,错误不可避免,欢迎您来信指出:www52gdorg@163.com. 2 试题 1.(20分)设 是既约分数, − · · · 是整系数多项式,而 − 且 证明: (1) | 而 | (2)对任意整数有 − | 2.(20分)设阶方阵 | − |≤ ≤ 其行列式记为 试证明 − − 并由此求出行列式 ( ) 3.(16分)已知二阶矩阵 的特征多项式为 − 试求 − 1 中国科学院2011高等代数参考解答 4.(20分)设 是3维线性空间 的一组基,线性变换A满足 A  A  A 试求A在基 下的矩阵.  −   5.(24分)已知矩阵 − − − (1)求 的特征多项式,并确定其是否有重根; (2)求一个正交阵 使得 −为对角阵; (3)令 是所有与可交换的实矩阵全体,证明 是实数域上的一个线性空间,并确 定 的维数. 6.(20分)设 是两个阶复方阵, (1)如果 证明 有公共的特征向量; (2)如果 − 其中是一个非零复数,那么 是否有公共的特征向量?回 答“是”请给出证明,回答“否”请给出反例. 7.(15分)设是阶矩阵,其特征多项式有如下分解 − − − · · · − 其中 为阶单位方阵,诸 两两不等.试证明 的Jordan标准形中以 为特征值的Jordan块