從一題矩陣的試題談起_詳全文.pdf

從一題矩陣的試題談起 林倉億 國立台南一中 1.前言  1 4   1 0  0 0  「A   ，二階方陣X 、Y 滿足 X Y I 且 X Y O ，其中I   、O   。若 3 2  0 1  0 0  存在實數 a b 使得 A aX bY ，求a 、b 之值。」 上述這個題目最近頗「紅」，不僅出現在友校本學期高二的段考試卷中（敘述略有出入），也 出現在本學期高三的某份模擬考考卷中（敘述略有出入）。由於這題「殺很大」，難倒不少高二、 高三學生，再加上幾位教師對試卷提供的解法都不甚滿意，認為應該有更深層的意義與解法，所 以，引起筆者的興趣想一探究竟。在嘗試不同的解法並查閱書籍之後，赫然發現從這個題目竟可 以連結到線性代數中的重要定理，因而撰此文和大家分享。 2. 不同的解法 首先，出題老師提供的解法大致如解法一： 解法一： （努力計算）  A bI X X Y I    a b ，因為   解聯立得  X Y O ，故 aX bY A A aI   Y  b a 0 0  1 1b 4 1a 4  1 (1b)(1a) 12 4(3 a b)    2    2   0 0 3 2 b 3 2 a 3(3 a b) 12 (2 b)(2 a) (a b)   (a b)                  b 3 a 代入 (1b)(1a) 12 0  a2 3a 10 0  ( a ,b ) (5, 2) or ( 2,5) 又 a b ，故( a ,b ) (5, 2) 。 上述解法就是將 X 、Y 用 A 表示後，再利用 X Y O 解出 a 、b 。解法一基本上都是在做計算， 看不出此題背後的數學結構為何，而這也正是幾位老師不滿意的原因。然而，這一題特別之處在  3 4 