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福州大学2006.pdf
福州大学 2009 年硕士研究生入学考试
《高等代数》试题
⎧ 2 3
x ax a x a ,
+ +
⎪1 2 3
2 3
x bx b x b
,
1．解线性方程组 ⎨ + + 其中a,b, c 为互不相等的数．
1 2 3
⎪ 2 3
x cx c x c
,
+ +
⎩1 2 3
2 ．证明: 任一n 阶方阵可以表成一个数量矩阵(具有kE 形式的矩阵)与一个迹为0的矩阵之和.
3．设A m ×n E n T λ0 B
为 实矩阵, 为 阶单位阵,B λE =+A A , 证明: 当 时, 为正定矩阵.
*
4. 设 n n −1
A 为 阶不可逆方阵,证明:A 的伴随矩阵A 的特征值至少有 个为 0,另一个非零特
征值(如果存在)等于A11 +A22 +L+Ann .
5. 证明: 相似的矩阵有相同的最小多项式.
6. 设 A 为 m ×n 矩阵,b 为 m 维列向量,证明 AX b 有解的充分必要条件是对满足 T
A z 0
T
的m 维列向量z 也一定满足b z 0 .
n S
7. 证明: 任一 阶实可逆矩阵A 可以分解成一个正交阵Q 与一个正定阵 之积, 即A QS .
8. 设 M ∈P n×n , f (x ), g (x ) ∈P[x ] , 且 (f (x ),g (x )) 1 . 令 A f (M ) , B g (M ) ,
W, W , W 分别为线性方程组 ABX 0 ,AX 0 ,BX 0 的解空间.证明W W =⊕W .
1 2
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