电磁学第五讲.ppt

思考题讨论 思考题1-6 点电荷q与半径为a的球面中心相距d(a)，直接积分计算q在球面上的总电通量。 第五讲 2010-03-16第一章 真空中的静电场 §1-1 电荷守恒 §1-5 高斯定理 §1-2 库仑定律 §1-6 环路定理 §1-3 叠加原理 §1-7 电势 §1-4 电场强度 [例1.8] 如右下图所示的带空腔的均匀带电球，其电荷密度为?e，球心到空腔中心的距离为a 。求空腔中的电场强度。 [解] 此题关键： 带电体等效为两个均匀带电球的叠加。 大球：中心O、电荷密度?e 小球：中心O?、电荷密度??e 由叠加原理，总电场是这两个均匀带电球电场的矢量叠加。 由上例结果，直接给出大球和小球在空腔内部的场强表达式 腔内电场为二者叠加，结果为： 式中a是由O指向O?的矢量。 上述结果表明，空腔内是均匀电场。 §1-6 环路定理 1. 水流速度场的环量 为便于理解，仍以流体速度场为例来引入环量。 设水中某处有旋涡，对任一闭合曲线L，速度沿该闭合曲线一周的积分定义为速度场的环量 设流线为圆 (严格讲是螺旋线)，圆上|v|相同，则 且速度越大，环量越大，定量描述v的旋转程度。 2. 静电场的环量 我们用静电场E代替v，E的环量为 环量反映矢量场的“旋转’程度，然而对静电场而言，它还具有特定的物理内容。 试探电荷q0在静电场中沿闭合路径L缓慢 (?) 移动，电场力做功 →静电场的环量表示静电场对沿该闭合路径移动的单位正电荷(?)所做的功。 3. 环路定理 静电场的环路定理：静电场的环量恒等于零，即对任意闭合回路L有 [证] 我们先证明点电荷电场情形。点电荷q所产生的静电场为 由图可知 将q0沿L从点P移到点Q，电场E做功 式中L1+L2=L，即L1与L2构成闭合环路L，证毕。 可见，单个点电荷的静电场对试探电荷所做的功，只与试探电荷的起点和终点的位置有关，与路径 L无关。 由此可推出环量为零，因为 一般带电体情形：将其视为许多点电荷的叠加，环量仍为零。 进一步讨论 环路定理表明静电场是一个无旋场，静电场的电场线不闭合。 环路定理的成立源于库仑力的保守性，而不是距离平方反比律。(将r?2换成r?n，还可以导出环路定理吗？) 对含时电场，环路定理失效。 §1-7 电势 1. 电势差和电势 由于静电场是保守力场，电场力作功与路径无关，可以引进电势差和电势的概念。 静电场与引力场类似：在静电场中，当把试探电势q0由点P移到点Q时，定义电场力所做的功为电势能的减少： 当电势能的零点（参考点）确定后，例如取无穷远点电势能为零，将点Q取为无穷远点，则q0在点P的电势能为 上两式表明，比值WPQ/q0和WP/q0与q0的大小无关，它由电场本身的性质决定。这两个比值分别定义为电场中P、Q两点间的电势差和P点的电势： 于是UPQ=UP?UQ 这说明，P、Q两点间的电势差正好等于点P的电势减去点Q的电势 。 当P、Q位于同一条电场线上时，由上式可知，UPQ 0, UP UQ。这说明电势沿电场线单调减小，或者说电场线的方向总是由高电势指向低电势。 在实际问题中，常取大地或电器外壳的电势为零。改变零点的位置，各点的电势能和电势的数值将随之变化，但都改变一个相同量，不会影响两点间的电势能差和电势差。 电势差和电势的单位均为焦耳/库仑，在SI制中称为伏特（V）。 由电势的单位可以反推出电场强度的单位为伏特/米（V/m），它与前面的牛顿/库仑（N/C）完全一致，但更为常用。 2. 电势的一般表达式 先讨论点电荷的情况，再推至任意带电系统。如图所示，q在点P产生的电势为 类似式(1.6.4)的推导可得： 由于电场满足叠加原理，电势是电场的线性积分，所以电势满足标量叠加原理。 点电荷系： 带电体： 带电面： 带电线： 3. E与U的微分关系 考虑空间任意两邻近点P和Q，其电势差为?U=UPQ=UP?UQ ， 以Q为起点、P为终点的相对位置矢量为: 数学上： 由积分关系式(1.7.4)有 对比上两式，立即得到 可写成矢量形式 E=??U 这就是电场强度和电势之间的微分关系，式中 称为电势梯度。电场强度的方向总是指向电势减小的方向。 4. 等势面 电势为空间坐标的标量函数，属