《郭硕宏电动力学第三版题解.》.pdf

电动力学习题解答 第一章 电磁现象的普遍规律 1. 根据算符∇的微分性与矢量性 推导下列公式 r r r r r r r r r r ∇ ⋅ × ∇× + ⋅∇ + × ∇× + ⋅∇ (A B) B ( A) (B )A A ( B) (A )B r r 1 r2 r r A ×(∇×A) ∇A −(A ⋅∇)A 2 v v v v v v v v v v 解 1 ∇(A ⋅B) B ×(∇×A) +(B ⋅∇)A +A ×(∇×B) +(A ⋅∇)B 首先 算符∇是一个微分算符 其具有对其后所有表达式起微分的作用 对于本题 v v ∇将作用于 A 和B 又∇是一个矢量算符 具有矢量的所有性质 v v v 因此 利用公式 v v v v v v 可得上式 其中右边前两项是 作用于 c ×(a ×b ) a ⋅(c ⋅b ) −(c ⋅a)b ∇ v v A 后两项是∇作用于B v v 2 根据第一个公式 令A B 可得证 2. 设 u 是空间坐标 x y z 的函数 证明 df ∇f (u) ∇u du r r dA ∇⋅A(u) ∇u ⋅ du r r dA ∇×A(u) ∇u × . du 证明 1 ∂f (u) r ∂f (u) r ∂f (u) r df ∂u r df ∂u r df ∂u r df ∇f (u) ex + ey + ez ⋅ ex + ⋅ ey + ⋅ ez ∇u ∂x ∂y ∂z du ∂x du ∂y du ∂z du 2 r r r r r r r r ∂ ( ) ( ) ∂ ( ) A u ( ) dA u A u ∂ ( ) dA u ( ) x y