《高中数学基础知识典型例题2——函数.》.doc

数学基础知识与典型例题复习 函数 映射 映射：设非空数集A，B，若对集合A中任一元素a，在集合B中有唯一元素b与之对应，则称从A到B的对应为映射，记为f：A→B，f表示对应法则，b=f(a)。若A中不同元素的象也不同，且B中每一个元素都有原象与之对应,则称从A到B的映射为一一映射。 例1.若，,则到的映射有 个，到的映射有 个；若，, 则到的一一映射有 个。 例2. 设集合A和集合B都是自然数集合N，映射把集合A中的元素映射到集合B中的元素，则在映射下，象20的原象是 ( ) （A）2 （B）3 （C）4 （D）5 函数 1.函数定义：函数就是定义在非空数集A，B上的映射，此时称数集A为定义域，象集C={f(x)|x∈A}为值域。 2.函数的三要素：定义域，值域，对应法则. 从逻辑上讲，定义域，对应法则决定了值域，是两个最基本的因素。 3. 函数定义域的求法：列出使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域.常涉及到的依据为：分母不为0；偶次根式中被开方数不小于0；对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；零指数幂的底数不等于零；实际问题要考虑实际意义等. ? 例3.已知扇形的周长为20，半径为，扇形面积为，则 ；定义域为 。 例4. 求函数的定义域. 例5. 若函数的定义域为[(1,1]，求函数的定义域。 函数 4.函数值域的求法：配方法(二次或四次)；判别式法；反函数法（反解法）；换元法（代数换元法）；不等式法；单调函数法. 注:的值域为R;②二次函数 当时值域是,当时值域是]；③反比例函数的值域为； ④指数函数的值域为；⑤对数函数 的值域为R；⑥函数的值域为[-1，1]；函数,的值域为R； 例6.已知 (x(0), 求. 例7. 求函数的值域. 例8. 下列函数中值域为的是( ) (A) (B) (C) (D) 单调性 函数的单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的一部分. 对于具体的函数来说可能有单调区间，也可能没有单调区间，如果函数在区间（0，1）上为减函数，在区间（1，2）上为减函数，就不能说函数在上为减函数. 例9.讨论函数的单调性。 单调性 单调性：研究函数的单调性应结合函数单调区间，单调区间应是定义域的子集。 判断函数单调性的方法：①定义法（作差比较和作商比较）；②图象法；③单调性的运算性质（实质上是不等式性质）； ④复合函数单调性判断法则;⑤导数法（适用于多项式函数） 函数单调性是函数性质中最活跃的性质，它的运用主要体现在不等式方面，如比较大小，解抽象函数不等式等。 例10. 函数在定义域上的单调性为( ) （A）在上是增函数，在上是增函数;（B）减函数;（C）在上是减函数，在上是减函数;（D）增函数 例11.已知函数f (x), g (x)在 R上是增函数，求证：f [g (x)]在 R上也是增函数。 奇偶性 1.⑴偶函数：.设（）为偶函数上一点，则（）也是图象上一点. ⑵偶函数的判定：两个条件同时满足①定义域一定要关于轴对称，例如：在上不是偶函数.②满足，或， 若时，. 2.⑴奇函数：.设（）为奇函数上一点，则（）也是图象上一点. ⑵奇函数的判定：两个条件同时满足①定义域一定要关于原点对称，例如：在上不是奇函数.②满足，或， 若时，. 注:函数定义域关于原点对称是判断函数奇偶性的必要条件，在利用定义判断时，应在化简解析式后进行，同时灵活运用定义域的变形，如，（f(x)≠0） 例12.判断下列函数的奇偶性： ①, ②, ③ 反函数 1.反函数定义：只有满足，函数才有反函数. 例如：无反函数.函数的反函数记为，习惯上记为. 2.求反函数的步骤:①将 看成关于的方程,解出， 若有两解，要注意解的选择；②将互换，得；③写出反函数的定义域（即的值域）。 3.在同一坐标系，函数与它的反函数的图象关于对称. [注]：一般地，的反函数. 是先的 反函数，在左移三个单位. 是先左移三个单位，在的反函数. 例13.求函数 （(1≤ x 0）的反函数 例14.已知，函数y=g(x)图象与的图象关于直线y= x对称，求g(11)的值。 例15. 若函数的图象经过，那么的反函数图象经过点( ) (A) (B) (C) (D) 反函数 4.⑴单调函数必有反函数，但并非反函数存在时一定是单调的.因此，所有偶函数不存在反函数. ⑵如果一个函数有反函数且为奇函数，那么它的反函数也为奇函数. ⑶设函数y = f（x）定义域，值域分别为X、Y. 如果y = f（x）在X上是增（减）函数，那么反函数在Y上一定是增（减）函数，即互为反函数的两个函数增减性相同. ⑷一般地，