《黄冈中学高考数学典型例题13---数列的通项与求和.》.doc

黄冈中学 高考数学典型例题详解 数列的通项与求和 每临大事,必有静气;静则神明,疑难冰释; 积极准备,坦然面对;最佳发挥,舍我其谁? 敬请有哪些信誉好的足球投注网站“黄冈中学高考数学知识点” 结合起来看 效果更好 体会绝妙解题思路 建立强大数学模型 感受数学思想魅力 品味学习数学快乐 数列是函数概念的继续和延伸，数列的通项公式及前n项和公式都可以看作项数n的函数，是函数思想在数列中的应用.数列以通项为纲，数列的问题，最终归结为对数列通项的研究，而数列的前n项和Sn可视为数列{Sn}的通项。通项及求和是数列中最基本也是最重要的问题之一，与数列极限及数学归纳法有着密切的联系，是高考对数列问题考查中的热点，本点的动态函数观点解决有关问题，为其提供行之有效的方法. ●难点磁场 (★★★★★)设{an}是正数组成的数列，其前n项和为Sn，并且对于所有的自然数n，an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项. (1)写出数列{an}的前3项. (2)求数列{an}的通项公式(写出推证过程) (3)令bn=(n∈N*)，求 (b1+b2+b3+…+bn－n). ●案例探究 ［例1］已知数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q的(q∈R且q≠1)的等比数列，若函数f(x)=(x－1)2，且a1=f(d－1)，a3=f(d+1)，b1=f(q+1)，b3=f(q－1)， (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)设数列{cn}的前n项和为Sn，对一切n∈N*，都有=an+1成立，求. 命题意图：本题主要考查等差、等比数列的通项公式及前n项和公式、数列的极限，以及运算能力和综合分析问题的能力.属★★★★★级题目. 知识依托：本题利用函数思想把题设条件转化为方程问题非常明显，而(2)中条件等式的左边可视为某数列前n项和，实质上是该数列前n项和与数列{an}的关系，借助通项与前n项和的关系求解cn是该条件转化的突破口. 错解分析：本题两问环环相扣，(1) 问是基础，但解方程求基本量a1、b1、d、q，计算不准易出错；(2) 问中对条件的正确认识和转化是关键. 技巧与方法：本题(1) 问运用函数思想转化为方程问题，思路较为自然，(2) 问“借鸡生蛋”构造新数列{dn}，运用和与通项的关系求出dn，丝丝入扣. 解：(1)∵a1=f(d－1)=(d－2)2，a3=f(d+1)=d2， ∴a3－a1=d2－(d－2)2=2d， ∵d=2，∴an=a1+(n－1)d=2(n－1)；又b1=f(q+1)=q2，b3=f(q－1)=(q－2)2， ∴=q2，由q∈R，且q≠1，得q=－2， ∴bn=b·qn－1=4·(－2)n－1 (2)令=dn，则d1+d2+…+dn=an+1,(n∈N*), ∴dn=an+1－an=2, ∴=2,即cn=2·bn=8·(－2)n－1；∴Sn=［1－(－2)n］. ∴ ［例2］设An为数列{an}的前n项和，An= (an－1)，数列{bn}的通项公式为bn=4n+3; (1)求数列{an}的通项公式； (2)把数列{an}与{bn}的公共项按从小到大的顺序排成一个新的数列，证明：数列{dn}的通项公式为dn=32n+1; (3)设数列{dn}的第n项是数列{bn}中的第r项，Br为数列{bn}的前r项的和；Dn为数列{dn}的前n项和，Tn=Br－Dn，求. 命题意图：本题考查数列的通项公式及前n项和公式及其相互关系；集合的相关概念，数列极限，以及逻辑推理能力. 知识依托：利用项与和的关系求an是本题的先决；(2)问中探寻{an}与{bn}的相通之处，须借助于二项式定理；而(3)问中利用求和公式求和则是最基本的知识点. 错解分析：待证通项dn=32n+1与an的共同点易被忽视而寸步难行；注意不到r与n的关系，使Tn中既含有n，又含有r，会使所求的极限模糊不清. 技巧与方法：(1)问中项与和的关系为常规方法，(2)问中把3拆解为4－1，再利用二项式定理，寻找数列通项在形式上相通之处堪称妙笔；(3)问中挖掘出n与r的关系，正确表示Br，问题便可迎刃而解. 解：(1)由An=(an－1)，可知An+1=(an+1－1)， ∴an+1－an= (an+1－an)，即=3，而a1=A1= (a1－1)，得a1=3，所以数列是以3为首项，公比为3的等比数列，数列{an}的通项公式an=3n. (2)∵32n+1=3·32n=3·(4－1)2n=3·［42n+C·42n－1(－1)+…+C·4·(－1)+(－1)2n］=4n+3， ∴32n+1∈{bn}.而数32n=(4－1)2n=42n+C·42n－1·(－1)+…+C·4·(－1)+(－1)2n=(4k+1)， ∴32n{bn}，而数列{an}={a2n+1}∪{a2n}，∴dn=32