《黄冈中学高考数学典型例题25---圆锥曲线综合题.》.doc

●难点磁场 (★★★★)若椭圆=1(a＞b＞0)与直线l：x+y=1在第一象限内有两个不同的交点，求a、b所满足的条件，并画出点P(a,b)的存在区域. ［例1］已知圆k过定点A(a,0)(a＞0),圆心k在抛物线C：y2=2ax上运动，MN为圆k在y轴上截得的弦. (1)试问MN的长是否随圆心k的运动而变化？ (2)当|OA|是|OM|与|ON|的等差中项时，抛物线C的准线与圆k有怎样的位置关系？ 错解分析：在判断d与R的关系时，x0的范围是学生容易忽略的. 技巧与方法：对第(2)问，需将目标转化为判断d=x0+与R=的大小. 解：(1)设圆心k(x0,y0),且y02=2ax0, 圆k的半径R=|AK|= ∴|MN|=2=2a(定值) ∴弦MN的长不随圆心k的运动而变化. (2)设M(0,y1)、N(0,y2)在圆k：(x－x0)2+(y－y0)2=x02+a2中， 令x=0，得y2－2y0y+y02－a2=0 ∴y1y2=y02－a2 ∵|OA|是|OM|与|ON|的等差中项. ∴|OM|+|ON|=|y1|+|y2|=2|OA|=2a. 又|MN|=|y1－y2|=2a ∴|y1|+|y2|=|y1－y2| ∴y1y2≤0，因此y02－a2≤0,即2ax0－a2≤0. ∴0≤x0≤. 圆心k到抛物线准线距离d=x0+≤a,而圆k半径R=≥a. 且上两式不能同时取等号，故圆k必与准线相交. ［例2］如图，已知椭圆=1(2≤m≤5),过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及其准线的交点从左到右的顺序为A、B、C、D，设f(m)=||AB|－|CD|| (1)求f(m)的解析式； (2)求f(m)的最值. 错解分析：在第(1)问中，要注意验证当2≤m≤5时，直线与椭圆恒有交点. 技巧与方法：第(1)问中，若注意到xA,xD为一对相反数，则可迅速将||AB|－|CD||化简.第(2)问，利用函数的单调性求最值是常用方法. 解：(1)设椭圆的半长轴、半短轴及半焦距依次为a、b、c，则a2=m,b2=m－1,c2=a2－b2=1 ∴椭圆的焦点为F1(－1,0),F2(1,0). 故直线的方程为y=x+1,又椭圆的准线方程为x=±,即x=±m. ∴A(－m,－m+1),D(m,m+1) 考虑方程组,消去y得：(m－1)x2+m(x+1)2=m(m－1) 整理得：(2m－1)x2+2mx+2m－m2=0 Δ=4m2－4(2m－1)(2m－m2)=8m(m－1)2 ∵2≤m≤5,∴Δ＞0恒成立，xB+xC=. 又∵A、B、C、D都在直线y=x+1上 ∴|AB|=|xB－xA|==(xB－xA)·,|CD|=(xD－xC) ∴||AB|－|CD||=|xB－xA+xD－xC|=|(xB+xC)－(xA+xD)| 又∵xA=－m,xD=m,∴xA+xD=0 ∴||AB|－|CD||=|xB+xC|·=||·= (2≤m≤5) 故f(m)=，m∈［2,5］. (2)由f(m)=，可知f(m)= 又2－≤2－≤2－ ∴f(m)∈［］ 故f(m)的最大值为，此时m=2;f(m)的最小值为，此时m=5. ［例3］舰A在舰B的正东6千米处，舰C在舰B的北偏西30°且与B相距4千米，它们准备捕海洋动物，某时刻A发现动物信号，4秒后B、C同时发现这种信号，A发射麻醉炮弹.设舰与动物均为静止的，动物信号的传播速度为1千米/秒，炮弹的速度是千米/秒，其中g为重力加速度，若不计空气阻力与舰高，问舰A发射炮弹的方位角和仰角应是多少？ 解：取AB所在直线为x轴，以AB的中点为原点，建立如图所示的直角坐标系.由题意可知，A、B、C舰的坐标为(3，0)、(－3，0)、(－5，2). 由于B、C同时发现动物信号，记动物所在位置为P，则|PB|=|PC|.于是P在线段BC的中垂线上，易求得其方程为x－3y+7=0. 又由A、B两舰发现动物信号的时间差为4秒，知|PB|－|PA|=4，故知P在双曲线=1的右支上. 直线与双曲线的交点为(8，5)，此即为动物P的位置，利用两点间距离公式，可得|PA|=10. 据已知两点的斜率公式，得kPA=,所以直线PA的倾斜角为60°,于是舰A发射炮弹的方位角应是北偏东30°.设发射炮弹的仰角是θ，初速度v0=，则, ∴sin2θ=,∴仰角θ=30°. ●歼灭难点训练 一、选择题 1.已知A、B、C三点在曲线y=上，其横坐标依次为1，m,4(1＜m＜4)，当△ABC的面积最大时，m等于( ) A.3 B. C. D. 2.()设u,v∈R，且|u|≤,v＞0,则(u－v)2+()2的最小值为( ) A.4 B.2 C.8 D.2 二、填空题 3. A是椭圆长轴的一个端点，O是椭圆的中心，若