《黄冈中学高考数学典型例题7---奇偶性与单调性-1.》.doc

黄冈中学 高考数学典型例题详解 奇偶性与单调性 每临大事,必有静气;静则神明,疑难冰释; 积极准备,坦然面对;最佳发挥,舍我其谁? 敬请有哪些信誉好的足球投注网站“黄冈中学高考数学知识点” 结合起来看 效果更好 体会绝妙解题思路 建立强大数学模型 感受数学思想魅力 品味学习数学快乐 函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样.本节主要帮助考生深刻理解奇偶性、单调性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象. ●难点磁场 (★★★★)设a0,f(x)=是R上的偶函数，(1)求a的值；(2)证明： f(x)在(0，+∞)上是增函数. ●案例探究 ［例1］已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，f()=－1,当且仅当0x1时f(x)0,且对任意x、y∈(－1,1)都有f(x)+f(y)=f(),试证明： (1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(－1，1)上单调递减. 命题意图：本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力.属★★★★题目. 知识依托：奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想. 错解分析：本题对思维能力要求较高，如果“赋值”不够准确，运算技能不过关，结果很难获得. 技巧与方法：对于(1)，获得f(0)的值进而取x=－y是解题关键；对于(2)，判定的范围是焦点. 证明：(1)由f(x)+f(y)=f(),令x=y=0,得f(0)=0,令y=－x,得f(x)+f(－x)=f()=f(0)=0.∴f(x)=－f(－x).∴f(x)为奇函数. (2)先证f(x)在(0，1)上单调递减. 令0x1x21,则f(x2)－f(x1)=f(x2)－f(－x1)=f() ∵0x1x21,∴x2－x10,1－x1x20，∴0, 又(x2－x1)－(1－x2x1)=(x2－1)(x1+1)0 ∴x2－x11－x2x1, ∴01,由题意知f()0， 即f(x2)f(x1). ∴f(x)在(0，1)上为减函数，又f(x)为奇函数且f(0)=0. ∴f(x)在(－1，1)上为减函数. ［例2］设函数f(x)是定义在R上的偶函数，并在区间(－∞,0)内单调递增，f(2a2+a+1)f(3a2－2a+1).求a的取值范围，并在该范围内求函数y=()的单调递减区间. 命题意图：本题主要考查函数奇偶性、单调性的基本应用以及对复合函数单调性的判定方法.本题属于★★★★★级题目. 知识依托：逆向认识奇偶性、单调性、指数函数的单调性及函数的值域问题. 错解分析：逆向思维受阻、条件认识不清晰、复合函数判定程序紊乱. 技巧与方法：本题属于知识组合题类，关键在于读题过程中对条件的思考与认识，通过本题会解组合题类，掌握审题的一般技巧与方法. 解：设0x1x2,则－x2－x10，∵f(x)在区间(－∞,0)内单调递增， ∴f(－x2)f(－x1),∵f(x)为偶函数，∴f(－x2)=f(x2),f(－x1)=f(x1), ∴f(x2)f(x1).∴f(x)在(0，+∞)内单调递减. 由f(2a2+a+1)f(3a2－2a+1)得：2a2+a+13a2－2a+1.解之，得0a3. 又a2－3a+1=(a－)2－. ∴函数y=()的单调减区间是［，+∞］ 结合0a3,得函数y=()的单调递减区间为［，3). ●锦囊妙计 本难点所涉及的问题及解决方法主要有： (1)判断函数的奇偶性与单调性 若为具体函数，严格按照定义判断，注意变换中的等价性. 若为抽象函数，在依托定义的基础上，用好赋值法，注意赋值的科学性、合理性. 同时，注意判断与证明、讨论三者的区别，针对所列的“磁场”及“训练”认真体会，用好数与形的统一. 复合函数的奇偶性、单调性.问题的解决关键在于：既把握复合过程，又掌握基本函数. (2)加强逆向思维、数形统一.正反结合解决基本应用题目，下一节我们将展开研究奇偶性、单调性的应用. ●歼灭难点训练 一、选择题 1.(★★★★)下列函数中的奇函数是( ) A.f(x)=(x－1) B.f(x)= C.f(x)= D.f(x)= 2.(★★★★★)函数f(x)=的图象( ) A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线x=1对称 二、填空题 3.(★★★★)函数f(x)在R上为增函数，则y=f(|x+1|)的一个单调递减区间是_________. 4.(★★★★★)若函数f(x)=ax3+bx2+cx+d满足f(0)=f(x1)=f(x2)=0 (0x1x2),且在［x2,+∞上单调递增，则b的取值范围是_________. 三、解答题 5.(★★★★)已知函数f(x)=ax+ (a1). (1)证明：函数f(x)在(－1，+∞)上为增函数. (2)用反证法证明方程