《10经济学－随机数学（清华大学－林元烈）》.pdf

第一章 随机事件与概率 1 第一章 随机事件与概率 §1 样本空间与随机事件 1 随机现象 自然界中有许多现象在一定条件下必然会发生。例如：同性电荷必然互相排斥，在 标准大气压下水加热到 100℃必然沸腾等等，这类现象称为确定性现象，在一定条件下， 必然出现的结果称必然事件。必然事件的对立面是不可能事件。 然而自然界中还存在大量的非确定性现象。例如观察某一商店每天来的顾客数与销 售商品的数额都不是确定的；又如：正在放射α粒子的放射性物质，每天在同一规定的 时间内放射的粒子数，事先无法确定，这类现象的共同点是：在基本条件保持不变的情 况之下，可能出现这样的结果，时而又出现那样的结果，而且事先无法断言出现的究竟 是哪一种结果，这类现象就称为随机现象。 2 随机试验 所谓随机试验。直观的讲，观察(或量测)在一定条件下随机现象出现的结果，即随 机试验(简称试验) 。进行一次试验就是在特定条件实现一次并观察其结果。在一次试验 中，某个结果是否出现具有一定的偶然性。比如说，我们掷一次骰子，就可以看成是一 次试验；因为掷骰子出现的点数是无法预先确定的，即试验的结果是偶然的、随机的。 但许多实践早已证明：当进行大量的重复试验时，其结果就会出现某种固有规律性。 例如，在投掷一枚质地均匀的硬币时，只投掷一次时，投掷的结果是正面还是反面 是无法确定的，但当大量重复投掷硬币，就可以看到出现正面的次数约占总试验次数的 一半。又如某人打靶射击，若射击次数不多，靶上的弹着点似乎是随意分布的，但倘若 进行大量的重复射击时，弹着点的分布就逐渐呈现规律性：它们大体上关于靶中心对称， 靠近靶心的弹着点密，偏离靶心越远弹着点越稀少，且弹着点落在靶任意指定区域内的 次数与射击次数 n 之比(频率)大体上保持稳定，且 n 越大，其频率稳定性就愈加明显， 这种在大量重复试验中随机现象所呈现的固有规律，我们通常称之为统计规律。 为了研究的方便，我们有时也会把具有固定结果的试验，看成是随机试验的极端情 形 。有时，又需要把几次试验作为一个整体合起来看成一次随机试验，例如：可以把连 续掷三次骰子看成是一次随机试验。 若试验具有下列共同特征： 1) 在相同的条件下，试验可重复进行； 2 第一章 随机事件与概率 2) 试验的一切可能结果是预先可以明确的，但每次试验前无法预先断言究竟会出 现哪个结果。 则称之为随机试验，简称试验，记作 E 或 E 1，E2 等。 例如： E 1：掷一枚硬币，观察正面或反面出现的情况。 E ：记录某一个服务台在 8 ∶00～9 ∶00 之间到来的顾客数。 2 E3 ：在有噪声干扰的条件下，测量线路某一终端 电压。 3 样本空间 对于随机试验 E ，以ω表它的一个可能出现的试验结果，称ω为 E 的一个样本点 。 样本点的全体称为样本空间，用 Ω表示 。即 Ω={ ω}。 从集合论的观点看，样本空间 Ω是 由一切可能结果所构成的集合，而每个样本点 ω 是集合 Ω中的元素 。对于上面的随机试验有： E ：掷一枚硬币一次，观察出现正、反面的情况。则 E 的样本空间为 Ω={ ω , ω }； 1 1 1 2 其中 ω 表示 出现的是正面， ω 表示 出现的是反面， ω 与 ω 分别为 Ω的样本点。 1 2 1 2 E2 ：服务台在 8 ∶00～9 ∶00 之间到来的顾客数，则 Ω={n | n=0,1,2 …}；可见 Ω包含 可列无穷多个样本点。 E3 ：在有噪声干扰下，测量某终端 电压，则 Ω={x | x ∈R }，其样本点有不可数无穷 多个。 注 ：在同样的试验条件下，由于试验的考察侧面与 目的不同，可能选择不同的样本 空间，这是初学者必须注意的