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一个传球游戏的两个模式 云南省腾冲县第一中学 　 欧阳海平 　679100 （2009年4月21日） 传球游戏、跳格游戏、涂色游戏是学习高中数学《排列、组合、二项式定理》一章时的常见问题。对这类问题的求解教学，可有效训练学生思维的灵活性与严谨性，提高学生发散思维的能力。本文通过对一个传球游戏的探究，给出了该游戏在两种不同传球模式下的求解策略，在某种程度上实现了“三个游戏”在特定条件下的相互转化。 下面是一道常见的传球游戏题及一般解法： 题目：篮球场上三人互相传球，由甲开始做第一次传球，经过5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方法的种数有 种。 解析：3人相互传球可看作如下3种情况： 中途不再传给甲，有2种传球方法： 甲 甲 第二次传球时将球传给甲，有4种传球方法： 甲 甲 甲 第三次传球时将球传给甲，有4种传球方法： 甲 甲 甲 由分类计数原理得：共有不同的传球方法10种。 笔者认为该方法虽然使用了最基本的分类计数原理，但当传球人数和传球次数增加时，如继续使用此方法，求解过程较繁。 笔者分别对传球游戏的两种模式进行了有效的探究，并成功地进行了转化，同时也寻找到一类“跳格游戏”和一类“涂色游戏”的求解之路。 传球模式１（跳格游戏）：篮球场上共人围成如图１所示环形进行传球游戏，每人只可将球传给相邻的两人，现由开始第一次传球，若经过次传球后，球在手中，则不同传球方法共有种（其中，为关于的方程的整数解）。 证明：将按图２顺序排列到数轴上。 易知数轴上的点满足。于是问题转化为：位于原点的点每次向右或向左移动一个单位，经过次移动后，点所在位置满足。 设次传球中逆时针方向传球次，则顺时针方向的传球次，相当于数轴上点从原点出发，向右移动个单位，向左移动个单位。 所以，，解得的所有可能取值为：。 因此，不同的传球方法共有种。 传球模式2（涂色游戏）：篮球场上共人围成如图１所示环形进行传球游戏，每人均可将球传给除他本人外的任何一人，现由开始第一次传球，经过次传球后。 （１）若球在手中，则不同传球方法共有种。 （２）若球在手中，则不同传球方法共有种。 （３）若球在手中且每人至少传球1次（），则不同传球方法共有种。 证明：（１）将每一次的传球者画成图３的形式。 由于传球游戏中，传球者不能将球传给自己，因此，问题转化为使用种不同的颜色中的至少两种为图３中的块区域涂上颜色，第一块必须涂颜色（下同）且相邻区域不能涂同一种颜色。 定义两个记法：使用种不同颜色为形如图３的由块区域组成的环形涂色，第一块必须涂颜色，记每相邻两块不能使用同一颜色的不同涂色方法方法有种，第块可以使用颜色、其他相邻区域均不能使用同一颜色的不同涂色方法有种，则第块使用颜色、其他相邻区域均不能使用同一颜色的不同涂色方法有种。 所以：为图３的块区域涂色的不同方法数有，显然，； 当图３中第块使用颜色时，将第块合并到第1块，如图３－１，则为其中块区域涂色的不同方法有种，显然，； 当图３中第、块使用颜色时，将第、块合并到第1块，如图３－２，则为其中块区域涂色的不同方法有种，显然，； …… 当图３中第块使用颜色时，将第块合并到第1块，如图３－3，则为其中3块区域涂色的不同方法有种，显然，； 当图３中第块使用颜色时，将第块合并到第1块，如图３－4，显然，为其中2块区域涂色的不同方法有种。 所以，为图３中的个区域的不同涂色方法数有 （２）如（１）所述，可将此问题转化为：用种不同的颜色中的至少两种为图4所示的块区域涂色，且相邻区域不得使用同一颜色，现已知第1块和第块已涂好颜色。 若第块尚未涂色，由（１）可知，其余块区域共有不同的涂色方法种数为。由概率相关知识知，第块涂成任何一种颜色（不可能为）的可能性相同。因此当第块区域已涂好颜色时，所剩下的块区域不同的涂色方法的种数有 （３）此问题可转化为：使用n种不同颜色为图３中的s（）块区域涂上颜色，且第1块已涂成颜色，每相邻两块不得使用同一颜色，每种颜色至少使用一次。 记集合为“所给种颜色的集合“， 记集合为“使用中至少两种颜色为图３中的个区域涂色的方法的集合”，， 记集合为“使用中至多种颜色为图３中的个区域涂色的方法的集合”， 记集合为“使用中的种颜色中的至少两种为图３中的个区域涂色的方法的集合”。 由集合和组合相关知识可得： ； ，这样的集合共有个； ，这样的集合共有个； ，这样的集合共有个； …… ，这样的集合共有个； ，这样的集合共有个。 所以，每种颜色至少使用一次的涂色方法种数有 变式应用１：A、B、C、D四人玩传球游戏，每人均可将球传给其它三人，现由A开始传球,共传10次，则第6次