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2007年考研数学一真题解析
选择题(本题共10小题,每小题4分,满分40分,在每小题给的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后括号内)
当时,与等价的无穷小量是 (B)
A. B. C. D.
(2) 曲线y= ), 渐近线的条数为 (D)
A.0 B.1 C.2 D.3
(3)如图,连续函数y=f(x)在区间[-3,-2],[2,3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周,在区间[-2,0],[0,2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周,设F(x)= .则下列结论正确的是 (C)
A. F(3)= B. F(3)= C. F(3)= D. F(3)=
(4)设函数f(x)在x=0处连续,下列命题错误的是 (C)
A. 若存在,则f(0)=0 B. 若 存在,则f(0)=0
C. 若 存在,则=0 D. 若 存在,则=0
(5)设函数f(x)在(0, +)上具有二阶导数,且, 令=f(n)=1,2,…..n, 则下列结论正确的是 (D)
A.若,则{}必收敛 B. 若,则{}必发散
C. 若,则{}必收敛 D. 若,则{}必发散
(6)设曲线L:f(x, y) = 1 (f(x, y)具有一阶连续偏导数),过第Ⅱ象限内的点M和第Ⅳ象限内的点N,T为L上从点M到N的一段弧,则下列小于零的是 (B)
A. B. C. D.
(7)设向量组,,线形无关,则下列向量组线形相关的是: (A)
(A) (B)
(C) (D)
(8)设矩阵A=,B=,则A于B, (B)
(A) 合同,且相似 (B) 合同,但不相似
(C) 不合同,但相似 (D)既不合同,也不相似
(9)某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为p,则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为: (C)
(A) (B)
(C) (D)
(10) 设随即变量(X,Y)服从二维正态分布,且X与Y不相关,,分别表示X,Y的概率密度,则在Y=y的条件下,X的条件概率密度为 (A)
(A) (B)
(C) (D)
二.填空题:11-16小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上
(11) =_______________
(12)设为二元可微函数,,则=
(13)二阶常系数非齐次线性方程的通解为y=____
(14)设曲面:,则=__________________
(15)设矩阵A=,则的秩为_1_______
(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,则这两个数之差的绝对值小于的概率为_________
三.解答题:17~24小题,共86分。请将解答写在答题纸指定的位置上。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
【详解】:
【详解】
【详解】
证明:设在内某点同时取得最大值,则,此时的c就是所求点。若两个函数取得最大值的点不同则有设
故有,由介值定理,在内肯定存在由罗尔定理在区间内分别存在一点=0在区间内再用罗尔定理,即
【详解】
将已知条件中代入到微分方程中,整理即可得到:
解题如下
【详解】:
因为方程组(1)、(2)有公共解,即由方程组(1)、(2)组成的方程组
的解。
即距阵方程组(3)有解的充要条件为
。
当时,方程组(3)等价于方程组(1)即此时的公共解为方程组(1)的解。解方程组(1)的基础解系为此时的公共解为:
当时,方程组(3)的系数距阵为此时方程组(3)的解为,即公共解为:
(22)设3阶对称矩阵A的特征向量值是A的属于的一个特征向量,记其中为3阶单位矩阵
验证是矩阵的特征向量,并求的全部特征值的特征向量
求矩阵
【详解】:
(Ⅰ),于是
于是是矩阵B的特征向量,
所以B的全部特征值为-2,1,1.
前面已经求得为B的属于-2的特征值,而A为实对称矩阵,
于是根据B与A的关系可以知道B也是实对称矩阵,于是属于不同的特征值的特征向量正交,设B的属于1的特征向量为,所以有方程如下:
于是求得B的属于1的特征向量为
(Ⅱ),则,所以
(23)设二维变量的概率密度为
求
求的概率密度
【详解】:
(Ⅰ)中的那部分区域;
求此二重积分可得
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