第二讲_球面上的距离和角.ppt

* * 上一讲中，运用欧式几何的方法，研究了球面的一些性质．这次课从球面上的距离和角入手，进入球面几何的学习． 旧知回顾 导入新课 欧式几何中，用距离和角度（方位）来刻画位置间的关系，对于球面的学习，从球面上的距离和角两个基本概念开始． 一、球面上的距离 我们知道，在平面上，经过两点可以连一条直线，且只可连一条直线．平面上两点之间的所有连线中，线段最短，这条线段的长度叫做两点之间的距离． 平面上的两条直线有两种位置关系：平行和相交，如果相交，那么只有一个交点．平面上的直线可以无限延长等等．这些都是平面上直线的性质． 在平面上可以画出直线，但球面是一个曲面，球面上的线是弯曲的，不存在直线． 球面上有没有某种曲线可以“扮演”平面上直线的角色呢？连结球面上任意两点有无数条曲线，而且它们的长短不一，其中是否存在一条最短的曲线？ 探究 如下图，一架飞机从北京首都国际机场起飞，目的地是美国纽约肯尼迪国际机场，北京与纽约大致都在北纬40°上，如果不考虑其他因素，飞机如何飞行才能使航程最短？ A B B O A B、A两点的距离是多少？ N B O 北京 S 旧金山 O′ T 北 南 如上图，我们用点B代表北京、点N代表纽约，点O表示球心．用经过B点、 N点、 O点的平面去截球面，得到一个大圆（由于平面过球心），那么B点、 N点就把这个大圆分成两段圆弧，长的一段叫优弧，短的一段叫劣弧．劣弧的长度就是球面上两点间的最短距离，简称之为球面上两点间的距离。 再回到上图，很容易得到，飞机沿着大圆从北京向北经极地飞行到达纽约，航程最短，它比飞机向东沿北纬40°的小圆，经旧金山到达纽约的航程要短． 如果我们把图中的大圆弧和小圆弧画到同一个平面，如下图． T S B N O O′ r′ r 观察图形可知，以O为圆心，OB为半径的圆弧 ，比以点O为圆心，OB为半径的圆弧 要短．也就是说，平面上经过任意两点的劣弧中，半径越大，劣弧越短． 因此过球面上两点一定可以连一条且只可以连一条大圆弧——劣弧． 例1 假设地球的半径为R，如图，在北纬45°的纬线上有A，B两点，且 所对的圆心角∠AO′B=90°，求球面上A，B两点间的距离． A B O O′ A B O O′ 解：如图，连结OA，OB，AB，OO′.由纬度的意义，可得 同理， 因为∠AO′B=90°． 所以 又因为OA=OB=R，所以∠AOB=60°， 因此，球面上A，B两点间的距离等于 由于不在同一条直线上的三点唯一确定一个圆，因此过球面上两点必可连一条大圆弧—劣弧．这类似平面上经过两点可以连一条直线，且只可能连一条直线；平面上两点之间的最短路径是线段．因此，球面上的大圆可以“扮演”平面上直线的角色． 尽管球面上的大圆可以“扮演”平面上直线的角色，但是两者之间也有很大的不同．平面上的两条直线可以相交：只有一个交点；也可以不相交（平行）：没有交点．但是球面上任意两个大圆（类似平面上的两条直线）必定相交，且有两个交点． 思考 为什么两个大圆必定相交，且有两个交点？ A A′ O 如上图，因为球面上的两个大圆所在的平面都经过球心O．所以这两个大圆所在的平面有一个公共点，因此这两个平面必有一条过球心O的相交直线，这条相交直线显然是球面的直径所在的直线，两个大圆的交点是这条直径的两个端点A，A′．我们把球的直径的两个端点A，A′称为对径点．因此，两个大圆相交于对径点A，A′． 在平面上过一点A，做两条射线AB、AC，构成的图形叫做角记作∠BAC——平面上角的定义． 二、球面上的角 A B C 过球面上一点A，做两条大圆弧 、 ，它们构成图形是球面角．仍记为∠BAC,点A叫球面角的顶点，大圆弧 、 叫球面角的边，记为AB、AC．（结合下图） 类似地，我们可以定义球面上的角： 如何度量角∠BAC的大小？ A A′ O B C 如右图，球面角∠BAC的两边AB，AC延长后相交于点A的对径点A′．AB，AC所在大圆的半平面构成一个二面角B-AA′-C．显然，球面角∠BAC与二面角B-AA′-C唯一对应． A′ A C′ B′ B O C E D 我们用二面角B-AA′-C来度量球面角∠BAC，而二面角B-AA′-C的大小可以用它的平面角来度量，这样球面角∠BAC的大小可以用平面上的角度来度量了．即在二面角B-AA′-C棱AA′上，如果