第五讲-单自由度无阻尼强迫振动.ppt

Apr 2007 第五讲 单自由度无阻尼强迫振动 简谐激励下的无阻尼强迫振动 求解微分方程 求解微分方程 振动特性 振动特性-共振（ ） * * 机械与运载工程学院 机械与运载工程学院 * 机械与运载工程学院 * 机械与运载工程学院 弹簧－质量系统 设 外力幅值 外力的激励频率 振动微分方程： m k x 0 m 引入记号 （2） （1） 方程（2）的通解包含两部分：齐次通解（F=0）和特解 特解可表示为 （4） 将式（5）代入运动方程（2）得 （5） 齐次通解为 （3） （6） 因此，微分方程（2）的通解为 （8） 对应于初始条件 （7） 常数C1， C2由初始条件确定，X 由式（6）确定。 可确定常数C1， C2 （9） 自由振动（初始条件） 自由伴随振动（简谐激励） 稳态强迫振动 因此，对应于该初始条件的解为 激励不仅激起强迫振动，且激起自由振动 自由伴随振动 稳态强迫振动 对应于零初始条件的解为 零初始条件 (2) (1) 稳态强迫振动进行一个循环时间内，自由伴随振动完成多个循环 自由伴随振动进行一个循环时间内，稳态强迫振动完成多个循环 强迫振动响应成为自由振动响应曲线上迭加的一个振荡运动 强迫振动响应成为稳态响应曲线上迭加的一个振荡运动 0 0 稳态响应 自由振动 全响应 由于系统是线性的，也可利用叠加定理求解 ＋ ＝ 通解： 初始条件响应 自由伴随振动 强迫响应 稳态强迫振动 动力放大系数 0 1 2 3 0 1 2 3 4 5 1. 当 时，响应与激励力同相，振幅随频率比单调递增； 2. 当 时，响应与激励力反相，振幅随频率比单调递减。 3. 当 时，振幅可能达到非常大的值，即发生共振。 对于零初始条件 令： 又： 令： 当激频在固频领域内时 可看作频率为 但振幅按 规律缓慢变化的振动 这种在接近共振时发生的特殊振动现象称为”拍” 0 达到最大值所需时间： x t 振幅随时间增大而线性增大，时间无限长时，系统响应将无限大 共振建立需要时间，激频很快通过固频时，不会发生太大振幅 试验 共振时的响应 例： 计算初始条件，以使 的响应只以频率 振动 解： 的全解： 如果要使系统响应只以 为频率振动 必须成立： 初始条件： 例： 计算初始条件，以使 的响应只以频率 振动 解： 的全解： 正确？ 全解： 由 求一阶导数： 由 全解： 因此： 的全解： 相同 不同 例： 计算初始条件，以使 的响应只以频率 振动 全解： 如果要使系统响应只以 为频率振动 初始条件： ＝ 0