第八章__变形及刚度计算.ppt

例：实心圆轴受扭，若将轴的直径减小一半时，横截面的最大切应力是原来的 倍？圆轴的扭转角是原来的 倍？ 例：一空心圆轴，内外径之比为α=0.5，两端受扭转力偶矩作用，最大许可扭矩为Ｔ，若将轴的横截面面积增加一倍，内外径之比仍保持不变，则其最大许可扭矩为Ｔ的多少倍？（按强度计算）。 （1）正对称荷载作用下 A B C q/2 （2）反对称荷载作用下 可将AC段和BC段分别视为受均布线荷载作用且长度 为 l /2 的简支梁 在跨中C截面处，挠度 yc 等于零 ，但 转角不等于零 且该截面的 弯矩也等于零 C A B C A B C A B （2）反对称荷载作用下 将相应的位移进行叠加, 即得 A B C q （ ） （ ） 例题：一抗弯刚度为 EI 的外伸梁受荷载如图所示, 试按叠加原理并利用附表, 求截面 B 的转角 ?B 以及 A 端和BC 中点 D 的挠度 y A 和 yD 。 A B C D a a 2a 2q q 解：将外伸梁沿 B 截面截成两段，将AB 段看成 B 端固定的悬臂梁，BC 段看成简支梁。 A B C D a a 2a 2q q 2q A B B 截面两侧的相互作用力为： 2qa 2qa 2qa B C D q A B C D a a 2a 2q q 2qa B C D q 简支梁 BC 的受力情况与外伸梁 AC 的 BC 段的受力情况相同 由简支梁 BC 求得的?B ，yD，就是外伸梁 AC 的 ?B ，yD A B C D a a 2a 2q q 2qa B C D q 简支梁 BC 的变形就是MB 和均布荷载 q 分别引起变形的叠加。 q B C D B C D (1)求 ?B ，yD q B C D B C D 由叠加原理得 此式称为 梁的挠曲线近似微分方程 近似原因 : (1) 略去了剪力的影响 ; (2) 略去了 y 2 项。 与 1 相比十分微小而可以忽略不计, 故上式可近似为 推导公式 二、 挠曲线的近似微分方程 三、 用积分法求梁的变形 梁的挠曲线近似微分方程 （一）、公式推导 再积分一次, 得挠度方程 上式积分一次得转角方程 式中C 、D称为积分常数，可通过梁挠曲线的位移边界条件和变形连续光滑条件来确定。 A B A B 在简支梁中， 左右两铰支座处的挠度 yA 和 yB 都应等于零（边界）；C左、C右截面的饶度、转角相等（变形连续光滑）。 在悬臂梁 中，固定端处的挠度 yA和转角 ?A 都应等于零。 （二）、位移边界条件和变形连续条件 位移边界条件： yA ＝0 ，yB ＝0 位移边界条件： yA ＝0 ， ?A ＝0 注意：位移边界条件在支座处 变形连续条件中间在分段点 变形连续条件： C yC1 ＝ yC2 ， ?C1 ＝ ?C2 三、 用积分法求梁的变形 注 意 当梁上的外力将梁分为数段时，由于各段梁的弯矩方程不同，因而梁的挠曲线近似微分方程需分段列出。相应地各段梁的转角方程和挠曲线方程也随之而异。 A B F D a b 三、 用积分法求梁的变形 1、正确分段，分别列弯矩方程； 2、分段列近似微分方程，一次积分得转角方程，再此积分得挠度方程； 3、由位移边界条件和变形连续条件求得积分常数。 步 骤 注意： 1、位移边界条件在支座处，变形连续条件在中间分段点处； 2、分n段，就要列n个弯矩方程，就有n个转角方程和n个挠度方程，因此就有2n个积分常数，就必须列出2n个补充方程（边界条件和变形连续条件） 三、 用积分法求梁的变形 C D A F B 例题 ：用积分法求位移时，图示梁应分几段来列挠曲线的近似微分方程？试分别列出确定积分常数时需用的边界条件和变形连续条件。 3m 3m 2m q 解：分AC、CB、BD三段 1 位移边界条件： 变形连续条件： yA ＝0 yC1 ＝ yC2 ， ?C1 ＝ ?C2 2 3 应该列6个补充方程 yB2 ＝ yB3 ， ?B2 ＝ ?B3 A截面：x1=0时， C截面：x1=x2=3m时， B截面：x2=x3=6m时， B截面：x2=x3=6m时， yB ＝0 x 例题 ：图示一抗弯刚度为 EI 的悬臂梁, 在自由端受一集中力 P 作用。试求梁的挠曲线方程和转角方程, 并确定其最大挠度 ymax 和最大转角 ?max 。 y A B x P 弯矩方程为 解： 挠曲线的近似微分方程为 x y A B x P 对挠曲线近似微分方程进行积分 边界条件为 ： C1=0 C2=0 将边界条件代入(3) (4)两式中,可得 x y A B x P C1=0 C2=0 梁的转角方程