第八节多自由度体系在简谐荷载作用下的强迫振动.ppt

* * §11-8 多自由度体系在简谐荷载作用下的强迫振动 本节讨论多自由度体系在简谐荷载作用下不考虑阻尼的强迫振动问题，当体系上作用有多个简谐荷载时，则假设这些简谐荷载的频率和相位是相同的。 1、两个自由度体系 一、 柔度法 (1)运动方程的建立 或 (2)运动方程的解 其通解包含两部分：一部分是该式齐次方程的通解，对应着体系按自振频率的自由振动，由于实际阻尼的作用此部分将很快衰减消失；另一部分是该式的某一特解，对应着体系平稳阶段的纯强迫振动，即按荷载频率θ作简谐振动。设稳态强迫振动时两质点的位移为： 将上式代入方程,消去公因子sin ，经整理后得 A1、A2分别为质点m1、m2的振幅 这是以质点振幅A1、A2为未知量的代数方程组，可解得质点的振幅。以此代入式(11-70)即可求得质点在任意时刻t的位移，并可求得质点m1、m2的惯性力分别为 式中， , 表示惯性力的幅值。 其中 可知，质点位移、惯性力和简谐荷载均按同一频率作同步的简谐变化，且同时达到幅值。因此，在计算最大动力位移和内力时，只需先求出惯性力幅值，然后将惯性力幅值和简谐荷载的幅值同时作用在结构上(图11-44d)，按静力分析方法进行计算。 (11-71) 为了便于求得惯性力的幅值，可将 、 代入式(11-71)得 解此方程组可直接求得各惯性力幅值。 2. n个自由度体系 写成矩阵形式 在平稳振动阶段，各质点作简谐振动，设其位移为 式中， 是简谐荷载幅值使各质点产生的静位移列阵 式中， 是体系中各质点位移幅值列阵。 将式(11-75)代入式(11-74)得 ( 11-75 ) ( 11-74 ) 解此方程组即可求得各质点在纯强迫振动中的振幅 因为任一质点mi的惯性力幅值为 (i=1,2,…,n) 故 (i=1,2,…,n) 将式(d)代入式(11-76)，可得以各惯性力幅值为未知量的方程组： ( d ) (11-76) 解此方程组可直接求得各惯性力幅值 。 当 (i=1,2,…,n)，即简谐荷载的频率与任一自振频率相等时，由式(11-60)可知，此时式(11-76)的系数行列式等于零，因而振幅为无限大，这便是共振现象。由此可知，对于n个自由度体系，存在着n个可能的共振点。 例11-13 试求图11-46a所示体系质点m1、m2的动位移幅值和结构的最大动力弯矩图。已知：m1=m2=1200kg,P=8kN,θ=84 s-1，各杆EI=1.5×107N·m2。 解：先利用式(11-71)求解质点动位移的幅值。 分别在m1、m2沿位移方向作用单位力，绘出弯矩图，如图11-46b、c所示。由图乘法求得柔度系数 动荷载幅值P使质点m1、m2产生的静位移： 将上述数据代入振幅方程式(11-71)，化简后得 解得质点振幅 负号表示当简谐荷载向下达到幅值时，质点m1的位移向左达到幅值(与 图中单位力的方向相反)。 再计算惯性力幅值： 将惯性力幅值 和荷载幅值P同时作用在结构上(图d)，作出结构的最大动力弯矩图如(图e)(对应于简谐荷载向下作用时)。 讨论：计算质点m1、m2位移的动力系数及m2处截面弯矩的动力系数，并进行比较 m1位移的动力系数 m2 位移的动力系数 质点m2处截面由于动荷载幅值产生的静力弯矩 kN·m m2处截面弯矩的动力系数 由上可见， 。因此，对于多自由度体系，即使简谐荷载作用在质点上，各质点位移的动力系数也是不同的，同一截面的位移和弯矩的动力系数也不相同。整个体系没有一个统一的动力系数，这是与前述单自由度体系不相同的。 二、刚度法 以图a所示两个自由度体系为例，仿照式(11-52)的建立过程(见§11-6节图11-38)，可得在简谐荷载作用下用刚度法建立的振动方程为 与自由振动的方程(11-52)相比，这里只多了荷载项 、 ，它们是在简谐荷载作用下附加链杆的反力(图b)。 1.两个自由度体系 仍然设平稳阶段强迫振动质点位移为 代入上式，消去公因子，经整理后得 由此可解得质点位移的幅值A1、A2。 *