第六章第二次定积分求体积.ppt

第三章 中值定理与导数应用 * 第二讲 元素法求体积与弧长 一、旋转体的体积 旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴． 圆柱 圆锥 圆台 一、旋转体的体积 x y o 旋转体的体积为 一、旋转体的体积 解 直线 方程为 一、旋转体的体积 一、旋转体的体积 解 一、旋转体的体积 一、旋转体的体积 解 一、旋转体的体积 如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算. 立体体积 二、平行截面面积为已知的立体的体积 二、平行截面面积为已知的立体的体积 解 取坐标系如图 底圆方程为 截面面积 立体体积 二、平行截面面积为已知的立体的体积 解 取坐标系如图 底圆方程为 截面面积 立体体积 三、平面曲线弧长 弧长元素 弧长 三、平面曲线弧长 解 所求弧长为 三、平面曲线弧长 解 三、平面曲线弧长 曲线弧为 弧长 三、平面曲线弧长 解 星形线的参数方程为 根据对称性 第一象限部分的弧长 三、平面曲线弧长 曲线弧为 弧长 三、平面曲线弧长 解 三、平面曲线弧长 作业 P281 12,18,21,25 预习:　第五章 第六章习题课 一般地，如果旋转体是由连续曲线、直线、及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成的立体，体积为多少？ 取积分变量为， 在上任取小区间， 取以为底的窄边梯形绕轴旋转而成的薄片的体积为体积元素， 例1 连接坐标原点及点的直线、直线及轴围成一个直角三角形．将它绕轴旋转构成一个底半径为、高为的圆锥体，计算圆锥体的体积． 取积分变量为， 在上任取小区间， 以为底的窄边梯形绕轴旋转而成的薄片的体积为 圆锥体的体积 例2 求星形线绕轴旋转 构成旋转体的体积. 旋转体的体积 类似地，如果旋转体是由连续曲线、直线、及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成的立体，体积为 例3 求摆线，的一拱与所围成的图形分别绕轴、轴旋转构成旋转体的体积. 绕轴旋转的旋转体体积 绕轴旋转的旋转体体积 可看作平面图与 分别绕轴旋转构成旋转体的体积之差. 表示过点且垂直于轴的截面面积， 为的已知连续函数 例4 一平面经过半径为的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角，计算这平面截圆柱体所得立体的体积. 垂直于轴的截面为直角三角形 垂直于轴的截面为等腰三角形 例5 求以半径为的圆为底、平行且等于底圆直径的线段为顶、高为的正劈锥体的体积. 设、是曲线弧上的两个端点，在弧上插入分点 并依次连接相邻分点得一内接折线，当分点的数目无限增加且每个小弧段都缩向一点时， 此折线的长的极限存在，则称此极限为曲线弧的弧长. 设曲线弧为 ，其中在上有一阶连续导数 取积分变量为，在上任取小区间， 以对应小切线段的长代替小弧段的长 小切线段的长 例6 计算曲线上相应于从到的一段弧的长度. 例7 计算曲线的弧长. 其中在上具有连续导数. 例8 求星形线的全长. 其中在上具有连续导数. 例9 求阿基米德螺线 上相应于从到的弧长.