第十四章 第二型的曲线与曲面积分 1.ppt

* 故 故有: d?(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy, 必要性得证. x y O M0(x0,y0) M(x,y) 在定理5的条件下, 积分与路径无关, 故可取特殊的积分路径： 则 * 例3. 验证: xy2dx+x2ydy 在xOy平面上是某个函数的全微分,  并求出这个函数. 解: 在xOy平面上恒有: x y M(x,y) 由定理5知: xy2dx+x2ydy 是函数 的全微分, 取(x0,y0)为(0, 0), 积分路径如图： O * 例4. 验证:  在xOy平面的上半平面上是某个函数的全微分, 并求出它的一个 原函数. 解: * 取 也可用凑微分法来计算： x O y * 与路径无关的四个等价命题 条件 等 价 命 题 * B. 全微分式的曲线积分 定理6 设P(x,y), Q(x,y)在单连通区域D内具有一阶连续, 若?(x,y)是微分形式 P(x,y)dx+Q(x,y)dy 的一个原函数, 则对于区域D内从点A(x1, y1)到点B (x2, y2)的任意一条有向 曲线 L, 都有： * 例5. 计算 积分路径为折线 ABC。 解: 由例3知: A(0,1) B(1,0) C(2,2) x y 是 xy2dx+x2ydy 的一个原函数, 由定理6得： * -1 0 y x 1 1 A B C 例6.计算曲线积分: * 例7. 设 f(x)在(??, +?)内有连续的导数, 求 是上半平面上某一函数的全微分. * 则 积分表达式的原函数为: * C. 全微分方程 对于一阶微分方程 P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0, 如果存在函数 ?(x,y), 使得： d?(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy, 则称 P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 为全微分方程(或恰当方程)。 这里 ?(x,y) 就是微分形式P(x,y)dx+Q(x,y)dy的一个原函数, 这时 ?(x,y)=C 就是全微分方程 P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 的解. 根据定理5 知: 当P(x,y), Q(x,y)在单连通区域 D内具有一阶连续 偏导数时, 方程 P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0, 为全微分方程的充要条件是: * 例7. 求微分方程 解: 的通解. 在整个xOy平面上具有一阶连续的偏导数, * 有时, 方程 不是一个全微分方程, 成为一个全微分方程, * 例8. 求解下列微分方程: 解: 例9. * 给定一个二元函数 z=f(x,y), 则对应有一个 f(x,y)的梯度向量场. 但是, 任意给定一个向量场未必一定可以看作是一个函数的梯度场. 如果给定一个向量场: 可看作是某个函数 ?(x,y)的梯度场, 则称此向量场为有势场。并称?(x,y)为此向量场的势函数。 许多物理场都是有势场, 例如电位场, 引力场都是有势场. * 由定理5 得: 是有势场的充要条件是: 在D内处处成立: 若P(x,y), Q(x,y)在单连通区域 D内具有一阶连续偏导数, * 记 * (2) 如果D不是单连通区域 则可添加辅助线将D化为单连通区域, 结论仍是成立的. * 如果 D不是X型和Y型区域情形, 可添加辅助线将D化为X型和Y型区域情形, 结论仍是成立的. * x y o L 1. 简化曲线积分 格林公式的应用 A B ? * * 例1. 计算 其中 L是以直线 x=1,  y=x, y=2x 为边的三角形区域边界的正向. 解: O x 1 y y=2x y=x D * 例2. 计算 其中 L是椭圆 4x2+y2=8x 沿逆时针方向. 解法二: 直接计算 x y O D 1 2 2 * 例3. 计算 其中L是抛物线从点A(?1, 1)到点B(1, 1)的一段. 解: * 例3. 计算 其中 L是上半圆周  从点A(R, 0)到点O(0, 0)的弧段(R0). 解: O A(R,0) x y * 例4. 计算 其中 L为:(1)