经典高等数学课件D11-1对弧长的曲线积分.ppt

第一节 * 第十一章 积分学 定积分二重积分三重积分 积分域 区间域 平面域 空间域 曲线积分 曲线域 曲面域 曲面积分 曲线积分与曲面积分 定积分与重积分是研究定义在直线段、平面区域 或空间区域上函数的积分问题. 本章则研究定义在曲线段或曲面块上函数的积分. 定积分: 二重积分: 三重积分: 显然 对弧长的曲线积分 第十一章 问题的提出 对弧长的曲线积分的概念和性质 对弧长的曲线积分的计算 几何意义和物理意义 一、问题的提出 实例1:求曲线形构件的质量. 由于均匀之质量： 分割： 求和： 取极限： 近似值 精确值 近似： 取 设线密度为： (连续) 分割： 求和： 取极限： 近似值 精确值 实例2:求柱面上的曲边梯形的面积. 近似： 设z=f(x,y)是定义在L上的一个连续函数 取 z x y o L ? ? 二.对弧长的曲线积分的概念 1.定义 设xoy面上的连续曲线L是分段光滑的， 且有 有限长度， 函数z=f(x,y)在L上有界， 在曲线L上依次 插入分点 及 为L的两个端点), 把L分成n个小弧段 记小弧段 的长度 为 并在 上任取一点 如果极限 则称此极限为函数f(x,y)在平面 曲线L上对弧长的曲线积分， 记作： 即 积分变量 积分弧段 被积表达式 弧长元素 积分和式 对弧长的曲线积分,也称第一类曲线积分. 注意： (1)曲线积分也是一个确定的常数， 它只与被积函数 f(x,y)及积分弧段L有关. (2) f(x,y)在闭曲线L上对弧长的曲线积分记为 (3)存在条件： 当f(x,y)在弧L上连续时， (4)物理意义： 是线密度在L上的线积分. (5)几何意义： 即：高在底L上的线积分. 例如. 求两个底半径相同的直交圆柱所围立体的表面积. 解: 如图,由第一类曲线积分的几何意义知: o x y z R 其中 在第一象限的部分. 特别地： 联想： (6)推广: 第一类曲线积分定义为： 2.性质 (4)无向性： 对弧长的曲线积分与曲线的方向无关. 即 思考: 定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例 ? 否! 对弧长的曲线积分要求 ds ? 0 , 但定积分中 dx 可能为负. 回忆定积分： 故第一类曲线积分与定积分是有区别的. 三、对弧长的曲线积分的计算法 基本思路: 计算定积分 转 化 求曲线积分 定理： 设f(x,y)在曲线弧 L上有定义且连续， L的参数 方程为 其中 在 上具有一阶连续导数， 则 三代一定 证明： 说明: 设曲线 L的参数方程为x??(t)? y??(t) (??t??)? 则 (2) 注意到 因此上述计算公式相当于“换元法”. 注意: M N T P Q 对弧长的曲线积分的计算步骤： 化为： 讨论? 提示? 设曲线 L的参数方程为x??(t)? y??(t) (??t??)? 则 推广: 设空间曲线弧的参数方程为 则 (2)积分弧段L的方程为： 则 (3)积分弧段L的方程为： 则 ★计算第一类曲线积分的直接法 ----三代一定 解: 由第一类曲线积分的几何意义知: 例1. 求两个底半径相同的直交圆柱所围立体的表面积. 其中 象限的部分， x y o R D 在第一 o x y z R 例2. 解: o a y x A 所以 Ｂ o x 1 -2 2 y 例3. 解: 分析:　若 需要分段计算，较复杂. 注意到：Ｌ关于x轴对称，被积函数关于y是奇函数. 注：第一类曲线积分的对称性 L L1 O y x L L1 O x y