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第7章 弯曲应力及弯曲强度计算 7.1.3 正应力计算公式 7.2 弯曲切应力 * 7.1 纯弯曲梁横截面上的正应力 7.2 弯曲切应力 7.4 提高梁的弯曲强度的措施 7.3 弯曲梁的强度计算 7.1 纯弯曲梁横截面上的正应力 7.1.1 纯弯曲概念 F F a a Fa M o + 纯弯曲 ：横截面上只有弯矩M 没有剪力 剪切弯曲 各横截面上既有弯矩M 又有剪力FQ 7.1.2 实验观察与假设 （1）梁变形后，横向线段I-I和II-II还是直线，它们与变形后的轴线仍然垂直，但倾斜了一个小角度dθ。 （2）纵线ab缩短了，而纵线cd伸长了 平面假设：横截面在变形前为平面，变形后仍为平面，且仍垂直于变形后梁的轴线，只是绕横截面上某个轴旋转了一个角度。 梁的各纵向纤维都是受到轴向拉伸和压缩的作用，因此横截面上只有正应力。 + Fa Fa FQ o 弯曲应力 1 1 2 2 c a b d 1 1 2 2 c a b d M M M M 中性层：构件内部既不伸长也不收缩的纤维层。 弯曲应力 中性轴：横截面与中性层的交线。 中性层 横截面 中性轴 1.几何关系 M M 1.几何方面 弯曲应力 m2 n2 sy sL y O1 O2 r a2 dx n2 m2 n1 m1 O曲率中心 n2 dx n1 m1 m2 y a1 y a2 e1 O1 O2 e2 x 中性层 z 中性轴 y 对称轴 o a2 a1 y dq dl dq x e2 e1 2.物理关系(虎克定律) 弯曲应力 3.静力学关系 dA y z(中性轴) x z y O sdA M 即中性轴通过截面形心 ②梁的上下边缘处，弯曲正应力取得最大值 —抗弯截面模量。 纯弯曲梁横截面上的应力(弯曲正应力)： ①距中性层y处的应力 三、最大弯曲正应力 EIz：抗弯刚度 横截面上正应力的画法： M smin smax M smin smax 弯曲应力 ①线弹性范围—正应力小于比例极限sp； ②精确适用于纯弯曲梁； ③对于横力弯曲的细长梁(跨度与截面高度比L/h5)，上述公式的误差不大，但公式中的M应为所研究截面上的弯矩，即为截面位置的函数。 公式适用范围： 1.矩形截面 三种典型截面对中性轴的惯性矩 2.实心圆截面 3.截面为外径D、内径d(a=d/D)的空心圆: 例7-1一空心矩形截面悬臂梁受均布载荷作用，如图所示。已知梁跨长l =1.2m, 均布载荷集度q=20kN/m，横截面尺寸为H =12cm，B =6cm，h =8cm，b =3cm。试求此梁外壁和内壁的最大正应力 解：（1）作弯矩图，求最大弯矩 （2）计算横截面的惯性矩 (3)计算应力 q l b B H h 弯曲应力 例7-2一受集中载荷的简支梁，由18号槽钢制成，如图所示。已知梁的跨长l=2m，F=5kN,求此梁的最大拉应力和最大压应力。 A B C F 解：（1）作弯矩图，求最大弯矩 在梁中点截面上的弯矩最大 （2）求截面的惯性矩及有关尺寸 Iz=111cm 4 横截面上边缘及下端至中性轴的距离分别为 （3）计算最大应力 危险截面的弯矩为正，截面下端受最大拉应力 = 截面上缘受最大压应力 弯曲应力 例 如图所示悬臂梁，自由端承受集中载荷F=15kN作用。试计算截面B--B的最大弯曲拉应力与最大弯曲压应力。 解： 1．确定截面形心位置 选参考坐标系z’oy如图示，将截面分解为I和II两部分，形心C的纵坐标为: 2．计算截面惯性矩 弯曲应力 20 120 20 120 单位：mm I II 3 计算最大弯曲正应力 截面B—B的弯矩为: 在截面B的上、下边缘，分别作用有最大拉应力和最大压应力，其值分别为： 弯曲应力 7.2.1 矩形截面梁 弯曲应力 n 1 m n 2 m 1 z e1 1 1 1 1 y e2 e1 x 2 1 1 2 dx B A y y x dx x M+dM M FS FS s s+ds t m n m m dx ty t A O y z b h tmax y O t 代入切应力公式： 切应力t呈图示的抛物线分布，在最边缘处为零 在中性轴上最大，其值为： —平均切应力 弯曲应力 x dx 7.2.2工字形截面梁 腹板上任一点处的可直接由矩形梁的公式得出： 式中：b为腹板厚度 弯曲应力 中性轴处最大切应力 腹板与翼板交接处，切应力最小 若b远小于B，则最大切应力与最小切应力，近似相等， 对腹板上切应力可视为均匀分布。 7.2.3 圆形截面梁 式中：A为圆截面面积 对于等直杆，最大切应力的统一表达式为： 弯曲应力 例7-3 由