考研数学强化班讲义-微积分第10讲(学员版)曲线和曲面积分.pdf

第 10 讲 曲线积分与曲面积分 (一) 考纲要求: 考试内容 1．两类曲线积分的概念、性质及计算 两类曲线积分的关系, 格林（Green）公式. 2． 平面曲线积分与路径无关的条件 已知全微分求原函数. 3． 两类曲面积分的概念、性质及计算 两类曲面积分的关系 高斯（Gauss）公式,斯托克斯（Stoke）公式 4． 散度、旋度的概念及计算 曲线积分和曲面积分的应用. 考试要求 1．理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积 分的关系。 2．掌握计算两类曲线积分的方法。 3．掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微 分的原函数。 4．了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算 两类曲面积分的方法，5． 用高斯公式、斯托克斯公式计算曲面、 曲线积分。 6．了解散度与旋度的概念，并会计算。 (二) 内容提要: 1．第一、第二类曲线的定义、背景与性质。 3 AB L 第一类曲线积分：设弧段 (记作 )是R 中的一条逐段光滑 f (x ,y ,z ) 定义在 上. 把L 任意地分成n 个子弧段, 的曲线, 函数 L i P 1P,2,,n, P, A P B , , 每一段子弧段的弧长分别 i−1 i 0 n 为Δl , 在每一子弧段上分别任取一点( , ,Q )ξ η ς , 作 Riemann和 i i i i i n { } ( ,ξ ,ηf )ς max Δl ,记, lλ, Δl, l Δ Δ . 如果当λ→0 ∑ 1 2 n i i i i i 1 时, 上述Riemann 和的极限存在, 且该极限值与子弧段的分法和点的 取法无关, 则称该极限为函数f (x ,y ,z ) 在曲线 AB ( L )上的第一 类曲线积分, 记作 n f (x , y , z )dl f (x, y , z )dl lim ∑f (ξ ,η ,ς )Δl ∫ ∫ i i i i AB L λ→0 i 1 f (x ,y ,z ) 为被积函数, AB ( )为积分路径, dl 为弧微分, dl 0 . L