考研数学曲线积分曲面积分.pdf

第九章 曲线积分与曲面积分 本章所讲的曲线积分于曲面积分都是定积分的推广 9．1 第一型曲线积分 一．第一型曲线积分的概念和性质 1 ．金属曲线的质量 设有金属曲线L （如图9 －1），L 上各点的密度为二元连续函数ρ＝ρ （ｘ，ｙ），求这曲线的质量。 把L 分成n 个小弧段：Δs ，Δs ，…，Δs ，其中Δs （i=1,2, …n）也表示这些小弧段的长度。在Δs 上任取一点（ξ ，η ）， 1 2 n i i i i 由于线密度函数是连续的，因此当Δs 很小时，Δs 的质量∆m 便可近似地表示为：∆m ≈ρ （ξ ，η ）Δs ，于是整个金属 i i i i i i i n n 曲线地质量近似于M ≈ ρ(ξ ，η )Δs .记λ＝max {Δs },令λ 0 取上式和式的极限，得M ＝lim ρ(ξ ，η )Δs . ∑ i i i i → ∑ i i i i 1 1≤i≤n l→0 i 1 2 ．第一型曲线积分（对弧长的曲线积分）的定义 定义：设L 为xoy 平面内的曲线弧， 是L 上的有界函数,把L 分成n 个小弧段: Δs ，Δs ，…，Δs ，其中Δs （i=1,2, …n） f (x ,y ) 1 2 n i n 也表示第i 个小弧段的弧长. 记λ＝max {Δs },在每个小弧段Δs 上任取一点（ξ ，η ）,作和式∑ f (ξ ,η ) Δs ,如和式 i i i i i i i 1≤i≤n i 1 n 极限lim ∑ f (ξ ,η ) Δs 存在,且极限值与L 的分法和点（ξ ，η ）在Δs 上的取法无关,则称此极限值为函数ƒ(x,y)在曲 i i i i i i l→0 i 1