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曲线积分与曲面积分 第二节 对坐标的曲线积分 一、引例—变力沿曲线所作的功 四、对坐标的曲线积分的计算 五、两类曲线积分之间的联系 * 一、引例—变力沿曲线所作的功 二、对坐标的曲线积分的概念 三、对坐标的曲线积分的性质 四、对坐标的曲线积分的计算 五、两类曲线积分之间的联系 设一质点在变力 作用下沿 xoy 平面内的光滑曲线 弧 L 从点A移动到点 B,　求变力 　　　 所作的功W. 常力沿直线所作的功： 。 “分割” “取近似” “求和” “取极限” 本例解决办法: 用 L 上的点 （1）分割： （2）取近似： （3）求和： （4）取极限： 把 L 分为 n 个弧小段 。 用有向线段 近似代替有向小弧段 (其中? 为 n 个小弧段的最大长度) 二、对坐标的曲线积分的概念 定义 类似地，如果 总存在，则称此极限 为函数 在有向曲线弧 L 上对坐标 y 的曲线积分， 记作 ，即 ——被积函数 其中 ——积分弧段（或积分曲线） ——被积表达式 L 10 对坐标的曲线积分也称为第二类曲线积分． 40 定义可推广到积分弧段为空间曲线弧Γ的情形： 注 20 如果 L 是闭曲线, 则积分号“　”,应改写为“　”． 可简记为 30 50 对坐标的曲线积分 的物理意义 沿有向曲线L所作的功． 变力 三、对坐标的曲线积分的性质 性质2 性质1 性质3 性质4 设L－ 表示 L 的反向弧,则 性质4表明：对坐标的曲线积分必须注意　积分弧段的方向! 设有向曲线弧 L 由参数方程 给出，则 10 若有向曲线弧 L 的方程为 20 若有向曲线弧 L 的方程为 注 则视 x 为参数, 则视 y 为参数, 40 对于空间有向曲线弧Γ： 计算 其中L 为抛物线 上从点 的一段弧. 例1 解 Γ： 计算 ，其中Γ 是从点 到点 的直线段. 例2 解 (1) 计算 其中L为： (1)从点(1, 0 )到点( 0, 1 )的有向线段； (2)从点(1, 0 ) 到点( 0,0 ) 再到点( 0, 1) 的有向折线段； (3) 曲线 上 从点(1, 0 )到点( 0, 1 )的一段弧． 例3 解 (2) 其中 (3) 例4　求 其中 从 z 轴正向看为顺时针方向. 解 【其中 　　　　　 为有向曲线弧 L在 （指向与 L 的方向一致）的 处的切向量 点 方向余弦.】 【其中 　　　　　 　　　　　为有向 方向一致）的方向余弦.】 处的切向量（指向与 L 的 曲线弧 Γ 在点 * * （ t从变到 ） 【不一定小于】（从变到）， （从变到）， （ t从变到 ） 如果，则， 从而 设L为xoy平面内从A到B的一条有向光滑曲线弧，函数 在L上有界. 在L上沿L的方向任意插入一点列，把L分成n 个有向小弧段　．设，点为上任意取定的点，如果当各小弧段长度的最大值时，极限总存在，则称此极限为函数在有向曲线弧L上对坐标x的曲线积分，记作，即 ．