微分方程模型(全).ppt

例5 作战模型 例 5：作战模型 题目：讨论传统的正规战争、游击战争、以及分别使用正规部队和游击部队的所谓混合战争的作战模型。 引言：第一次世界大战期间，F W Lanchester 提出了几个关于空战战术的尚不成熟的数学模型，后来人们不断地对这些模型进行改进，得到了关于传统的正规战争、游击战争、以及分别使用正规部队和游击部队的所谓混合战争的作战模型。并且用这些模型成功地解释了越南战争和美日的硫磺岛战役的情况。 例5 作战模型 当然，这些模型是非常简单的，只考虑双方的兵力的多少和战斗力的强弱，并且当时只使用枪炮之类的常规武器。兵力因战斗减员和非战斗减员而减少，由于增援而增加；战斗力是杀伤对方的能力，它与射击率（单位时间的射击次数）、射击命中率以及战争类型（正规战、游击战等）有关。即这些模型仅考虑战场上的兵力的优劣，并没有考虑交战双方的政治、外交、经济、社会等因素，所以仅用这些模型来判别一场战争的结局是不现实的。 例5 作战模型 但是这样的模型对于局部战争和战役仍然会有参考价值。更重要的是，这些建模的思路和方法为我们借助数学模型去讨论社会科学中的实际问题提供了可以借鉴的示例。 例5 作战模型 一般战争模型 用 x(t) 和 y(t) 分别表示交战的双方在时刻 t 的兵力（人数），假设 x(t) 和 y(t) 为时间的可导函数。从变化率入手，双方兵力变化的情况满足下面的微分方程组： 例5 作战模型 其中， f(x,y)， g(x,y) 表示各方的战斗减员率； α0, β0 表示非战斗减员率与本方兵力的比例常数；u(t)，v(t) 分别表示各方的增援率。 问题是要针对不同的战争类型，先估计战斗减员率 f(x,y)， g(x,y)，再分析微分方程的解，从而确定谁将“赢得”战斗。 例5 作战模型 正规战争模型 甲乙双方都用正规部队参加作战，分析一下甲方的战斗减员率 f(x,y). 甲方士兵公开活动，处于乙方每一个士兵的杀伤范围之内，一旦甲方每个士兵被杀伤，乙方的火力立即集中在其余的士兵身上，所以甲方的战斗减员率只与乙方的兵力有关，可以简单地假设 f(x,y) 与 y 成正比，即 f(x,y)=ay, a0. 例5 作战模型 a 表示乙方平均每个士兵对甲方士兵的杀伤率（单位时间的杀伤数），称为乙方的有效战斗系数。a 可以进一步分解为 a=ry py，其中 ry 是乙方的 射击率（每个士兵单位时间的射击次数），py 是每次射击的 命中率。 类似地，g(x,y)=bx, b0，甲方的有效战斗系数为 b=rx px，其中 rx 和 px 是甲方的射击率和命中率。 例5 作战模型 将战斗减员率的表达式代入（5-1）给出正规战争的数学模型： 在分析战争结局时忽略非战斗减员一项，并且假设双方都没有增援。 例5 作战模型 记双方的初始兵力分别为 x0 和 y0, 则方程 (5-2) 简化为： 且满足初始条件： 解此方程得： 例5 作战模型 为双曲线簇，如下图，箭头表示时间 t 增加的方向 例5 作战模型 由 ，进一步分析例如 乙方取胜 (k0) 的条件： 此式说明双方初始兵力之比 x0/y0 以平方关系影响着战争的结局。所以这种正规战争作战的数学模型称为平方律模型。 例5 作战模型 游击战争模型 甲乙双方都用游击部队参加作战，还是先分析一下甲方的战斗减员率 f(x,y). 甲方士兵在乙方士兵看不到的某个面积为 Ax 的区域内活动，乙方士兵向甲方的这个区域射击，并且不知道杀伤的情况。这时，甲方的战斗减员率可以简单的假设为 f(x,y) 与 xy 成正比，即 f(x,y)=cxy, c0 表示乙方的有效战斗系数。 微分方程模型 例 1 火车启动 例 2 细菌增长 例 4 交通黄灯 例 3 溶液浓度 例 5 作战模型 如果有一个实际问题，要找一个量 y ，与另一个量 t（时间或其他变量）的关系，这种关系涉及量 y 在每个 t 时的瞬时变化率，而且这个瞬时变化率与量 y 与 t 的关系可以确定，那么这样的问题通常可以通过微分方程来解决。 利用微分方程解决这样的问题的一般步骤如下： （分为六步） 注意到实际问题中有与数学中“导数”有关的常用词，如 “速度”、“速率”（运动学、化学反应中）； “边际的”（经济学中）； “增长”（生物学、金融、经济等中）； “衰