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表面积、体积和球面距离
表面积、体积和球面距离
1.多面体的面积和体积公式
名称 侧面积(S侧) 全面积(S全) 体 积(V) 棱
柱 棱柱 直截面周长×l S侧+2S底 S底·h=S直截面·h 直棱柱 ch S底·h 棱
锥 棱锥 各侧面积之和 S侧+S底 S底·h 正棱锥 ch′ 正棱台 (c+c′)h′ 表中S表示面积,c′、c分别表示上、下底面周长,h表斜高,h′表示斜高,l表示侧棱长。
2.旋转体的面积和体积公式
名称 圆柱 圆锥 球 S侧 2πrl πrl S全 2πr(l+r) πr(l+r) 4πR2 V πr2h(即πr2l) πr2h πR3 表中l、h分别表示母线、高,r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径,r1、r2分别表示圆台 上、下底面半径,R表示半径。
3.球的截面:
用一个平面去截一个球,截面是圆面.
过球心的截面截得的圆叫做球的大圆;不经过球心的截面截得的圆叫做球的小圆。
4.经度、纬度:
经线:球面上从北极到南极的半个大圆;
纬线:与赤道平面平行的平面截球面所得的小圆;
经度:某地的经度就是经过这点的经线与地轴确定的半平面与经线及轴确定的半平面所成的二面角的度数。
纬度:某地的纬度就是指过这点的球半径与赤道平面所成角的度数。
5. 两点的球面距离:
球面上两点之间的最短距离,就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度,我们把这个弧长叫做两点的球面距离
两点的球面距离公式:(其中R为球半径,为A,B所对应的球心角的弧度数)
A,B两点的球面距离=
二、典型例题
例1.一个长方体全面积是20cm2,所有棱长的和是24cm,求长方体的对角线长.
解:设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm、ycm、zcm、lcm
依题意得:
由(2)2得:x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36(3)
由(3)-(1)得x2+y2+z2=16
即l2=16
所以l=4(cm)。
点评:涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主,而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察。我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素(对角线、内切)与面积、体积之间的关系。
例2.如图1所示,在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中,已知AB=5,AD=4,AA1=3,AB⊥AD,∠A1AB=∠A1AD=。
(1)求证:顶点A1在底面ABCD上的射影O在∠BAD的平分线上;
(2)求这个平行六面体的体积。
图1 图2
解析:(1)如图2,连结A1O,则A1O⊥底面ABCD。作OM⊥AB交AB于M,作ON⊥AD交AD于N,连结A1M,A1N。由三垂线定得得A1M⊥AB,A1N⊥AD。∵∠A1AM=∠A1AN,
∴Rt△A1NA≌Rt△A1MA,∴A1M=A1N,
从而OM=ON。
∴点O在∠BAD的平分线上。
(2)∵AM=AA1cos=3×=
∴AO==。
又在Rt△AOA1中,A1O2=AA12 – AO2=9-=,
∴A1O=,平行六面体的体积为。
题型2:柱体的表面积、体积综合问题
例3.(2000全国,3)一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是,这个长方体对角线的长是( )
A.2 B.3 C.6 D.
解析:设长方体共一顶点的三边长分别为a=1,b=,c=,则对角线l的长为l=;答案D。
点评:解题思路是将三个面的面积转化为解棱柱面积、体积的几何要素—棱长。
例4.如图,三棱柱ABC—A1B1C1中,若E、F分别为AB、AC 的中点,平面EB1C1将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分,那么V1∶V2= ____ _。
解:设三棱柱的高为h,上下底的面积为S,体积为V,则V=V1+V2=Sh。
∵E、F分别为AB、AC的中点,
∴S△AEF=S,
V1=h(S+S+)=Sh
V2=Sh-V1=Sh,
∴V1∶V2=7∶5。
点评:解题的关键是棱柱、棱台间的转化关系,建立起求解体积的几何元素之间的对应关系。最后用统一的量建立比值得到结论即可。
题型3:锥体的体积和表面积
例5.(2006上海,19)在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为2的菱形,∠DAB=60,对角线AC与BD相交于点O,PO⊥平面ABCD,PB与平面ABCD所成的角为60,求四棱锥P-ABCD的体积?
解:(1)在四棱锥P-ABCD中由PO⊥平面ABCD,得∠PBO是PB与平面ABCD所成的角∠PBO=60°。
在Rt△AOB中BO=ABsin30°=1, 由PO⊥BO于是PO=BO60°=,而底面菱形的面积为2∴四棱锥PABCD的体积V=×2×=2例6.(2002京皖春文,19)在三棱锥S—ABC中,
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