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弹性力学及有限单元法 王建伟 绪 论 2 弹性力学研究什么样的模型？ 需要特别关注的几个问题 3 应力边界、位移边界与自由边界 例1 3、弹性力学的基本研究方法？ 特别注意： 4、弹性力学在其它力学学科中的定位？ 第一章 平面弹性力学问题 第二章 变分法简介 第三章 有限单元法 第四节 证明能量变分法和微元法两种描述方式 等价 本节我们要证明两种描述方式等价，或者说要证明求解位能极值得到位移函数和求解微分法列出的8个方程得到的位移解一样！由于能量变分法得到的最终结果是虚位移原理，那么上述问题就变换为证明虚位移原理同原来微分说明模型等价。 到目前为止我们基本上已经把弹性力学的内容讲完。至于弹性力学课程的其它内容比如：半逆解法中的因次分析法求解弹性半空间体，极坐标下弹性力学问题的求解等等，有兴趣的同学可以参考相关的书籍，其基本原理和基本方法都与上述内容类似。 弹性力学部分其它内容 前面我们已经提到：对于一个力学问题的描述有两种方法（1）微元分析法和（2）能量法，其中能量法基本是指能量变分法。这两种方法是对同一个力学问题的描述，当然应该是等价的。我们有这方面的经验，比如在材料力学中对于一个题目的求解可以用传统的方法，也可以用虚位移原理，其中虚位移原理就是能量法。 第一节 变分问题的引入与变分符号的说明 在高数中我们学习了函数导数积分的知识，求导和积分是互逆的两种运算。导数的一个重要的应用就是求极值。比如求函数f（x）的极值，我们就很容易通过求导得到。下面我们把这个简单的问题给表述的详细一点。主要说明为什么在极值点上导师会等于0。 图1 可以看出求一个函数的极值实际上就是比较该点同其附近点的函数值，附近点是通过给该点一个变化 来表示的。 我们试看下面一个问题： 设y＝y（x）是区间[a,b]上任意的连续函数，且在边界上保证y（a）＝y1，y（b）＝y2（这其实就是边界条件），分析下面积分的极值问题： 比较该问题和前面的函数极值问题，其实二者有相似的地方，如果我们把y（x）这个函数想象成为x，那么二者就一样了。 其该问题的极值采用的分析思想也和函数极值的思想完全一样，比较极值和相邻值的大小。数学描述如下： 关于宗量变分的说明 图2 特别说明－宗量的变分要求 我们这里研究的是固定边界的变分，属于狭义的变分，要求变分要满足已知的边界条件，即： 关于宗量变分以及复合宗量的一些基本运算 第二节 变分原理 如下变分原理的结论推导起来比较麻烦，我们采用类比的方法想象这个结论： 第三节 欧拉变分公式 3.1 预备公式 Th 设函数y(x)在区间[a,b]上连续可积，m(x)是区间[a,b]上任意的一个函数，若： 则必有下式成立： 3.2 Euler变分公式 解： 注意： 1）求解得到的是带有待定系数的函数族，要用边界条件去确定待定系数； 2）准确的说我们还不知道我们求出宗量是极大值泛函宗量还是极小值泛函宗量。 例1 已知如下泛函及相应的固定边界条件，求它的极值宗量函数？ 解： 结论 通过本章的学习我们可以大概得到如下的结论：求解泛函的极值宗量函数等价于求解一个微分方程（组）。那么反过来求解一个微分方程组在一定情况下可以等价为求解一个泛函的极值问题。 注：为什么是“一定情况下”呢？因为不是所有的微分方程（组）都有对应的泛函问题存在，只有可以找到相应的泛函问题，才可以建立这种等价关系。而我们前面得到的弹性力学数学模型就可以找到相应的泛函，从而把求解该数学模型的偏微分方程组问题转化为相应的泛函极值问题，这个问题在下一章回答。 第一节 位能泛函指标 本章的首要任务是证明弹性力学数学模型的求解问题可以等价为求解某个泛函指标的极值宗量问题。等价后的命题就是我们在第二章说过的对同一问题的能量描述方式。 图3 第二节 求所有满足Su边界条件的位移中使得 该位能取极值的位移应满足的条件 由变分原理可知：这组待求的位移必然满足位能泛函的变分为0。 我们应该明白我们现在是在学习位移有限元，所以基本未知量是位移！且我们是在做位移变分，那么应变实际上是位移宗量的复合宗量，其关系如下所示： 所以： 于是： 第三节 证明这个条件就是虚位移原理 例2 考察 可否作为一个应力函数？如果可以，它能对应解决什么样的实际存在的平面应力弹性力学问题？ 解： 可以作为应力函数！（略） Step1 应力函数求应力 Step2 任意设定弹性体形状 矩形（薄板） 这里为考虑一种特殊的情况（属于任意情况的一种），它需要明