布朗尼蛋糕盘设计数学建模二等奖论文.doc

布朗尼蛋糕盘 摘 要 电烤箱由于其加热时间短，耗能低，使用便捷的特点，被越来越多的人所认可，并因此成为家电行业的一枝新秀。在电烤箱中，烤盘的形状一般为矩形或圆形，当使用矩形烤盘烘烤食物时，热量集中在四个角上，导致边角处物体因过度受热而变焦，因此虽然矩形烤盘虽然能够有效的利用烤箱空间，但烤出来的食物质量不高。如果用圆形烤盘，热量会平均分布在整个外围边缘，在外围的物体就不会过度受热，而用圆形的烤盘虽能保证质量，但烤箱空间很浪费。那么，如何才能够设计一种烤盘，既能在保证烤出食物质量的同时，尽可能的增加烤箱空间的利用率和食物的视觉效果？ 在假定烤箱的面积为，宽长比为变量，单个烤盘的面积为,同一烤制过程中烤盘的大小形状都完全相同的情况下，建立数学模型求解了三种问题：即烤盘数量最多的最大空间利用问题，烤盘平均热量分布最大的烤制最佳质量问题，空间利用与烤制质量综合考虑的双目标最优化最大的问题。具体为： 首先：为了解决烤箱空间的利用率最大，即烤盘的数量最多的问题，我们建立了单元正规密铺模型，并证明了只有正三角形，正方形，正六边形能够达到无缝隙密铺。并依据已知条件建立了正方形、正六边形的密铺单元个数的上下取整模型，给出了三种情况下的单元个数，得到了正方形单元密铺时，个数最多，并通过实际尺寸为的电烤箱， 的烤盘进行了验证，解得，检验了模型的正确性。 然后：为了解决烤制质量，即烤盘的平均热量分布最大的问题，我们将温度场的尖端热效应现象类比于电场的尖端热效应现象，建立了温度分布函数的尖端热效应模型，从理论上推导出了温度分布函数、平均热量分布函数与尖端距离、半顶角之间的关系式，分析了其单调关系，得出了当半顶角时，即烤盘为圆形时，曲率最小，最大。通过Matlab对该模型进行了仿真，通过三维仿真温度分布图得知，曲率最大，即圆形密铺时最大，与理论推导结果一致。并通过利用已有的辐射传热模型对尖端热效应模型进行了进一步的验证，证明了该模型的合理性。 最后：为了综合考虑烤箱的空间利用率和烤制质量，在宽长比的范围内，引入权重，基于经济学中的埃奇沃思框图理论，考虑效应函数最大，建立了双目标规划最优模型，通过双目标规划模型和蛛网模型两种方法进行求解，均得出当时，正六边形密铺时为最优结果。两种方法求解结果的相同性，达到了验证模型可靠性的目的。并考虑正六边形的尖端圆角化对密铺进行改造，对模型进行了推广，增加烤制质量的同时，还提高了烤制蛋糕的美观性。 总之，本文在合理假设的前提下，建立模型对以上三个问题进行了研究，并通过Matlab仿真、实证研究、一题多解等手段对模型进行了验证，最终给出了满足烤箱空间利用率、烤制质量等要求的结果，最终为蛋糕盘的设计奠定了理论基础。 1 序言 家用电烤箱由于其使用价值被越来越多的人所认可，并因此成为家电行业的一枝新秀。近年来，新型电烤箱的技术含量增加，普遍采用远红外加热技术，具有加热时间短，耗能低，使用便捷的特点，深受广大用户的欢迎。从理论上讲，利用红外线加热物体，就是利用辐射波长与物体接收波长一致时，物体吸收大量的红外能，从而加剧物体内部的分子运动，使之加热升温，最终达到烤制的目标。 在电烤箱中，一般采用铝制的烤盘作为工具和介质来进行烤制，烤盘的形状依据烤箱内箱的形状来确定，大多数为矩形烤盘。但是，当使用矩形烤盘烘烤食物时，热量集中在四个角上，导致边角处物体因过度受热（以及在较小程度的边缘处）而变焦，因此虽然矩形烤盘虽然能够有效的利用烤箱空间，但烤出来的食物质量不高。如果用圆形烤盘，热量会平均分布在整个外围边缘，在外围的物体就不会过度受热。然而，由于大多数的烤箱都是矩形的，而用圆形的烤盘虽能保证质量，但烤箱空间很浪费。这给烤箱的使用者造成了很大困扰。如何能在保证烤出食物质量的同时，尽可能的增加烤箱空间的利用率和食物的视觉效果，成为一个值得研究的问题。 2.烤箱内的热传导分析与基本知识 2.1 烤箱内的热传导分析 解决烤箱内烤盘边缘的热量分布问题之前，首先需要了解烤箱的加热原理。通过烤箱的使用说明书可知其加热原理为：电阻丝通电变热，期间使电能转化为热能，箱体内的温度随之提高，继而对食物进行烘烤至熟。这个过程是由外至里的，通俗的理解，烤箱就像一个封闭的炉子，其内部主要是靠热辐射来达到热量传递。 观察烤箱的内部结构不难发现，烤箱内部一般装有风扇或留有进、出风口，这样就会使烤箱内部由于对流传热而达到一个温度均匀的状态。那么是什么因素导致有的蛋糕会烤焦呢？ 为解决这个疑问，分析烤箱的内部机理，可以得知：热传递过程往往是传导、对流与辐射同时进行或至少其中两种同时进行，而由烤箱热源发出的辐射热混合对流过程后，烤箱内部整个空间的空气的温度都是均匀的，也就是说，烤盘边缘温度分布与热传导过程有关。接下来要具体分析一下这个结论的正确性。 热传导实质是由大量物质的