带有不同余项泰勒公式的应用毕业论文.doc

毕业论文 题 目 带有不同余项泰勒公式的应用 _ 学生姓名 柴 书 雅 学号 1009014056 所在院(系) 数学与计算机科学学院 专业班级 数学与应用数学专业2010级数教1班 指导教师 李 金 龙 完成地点 陕西理工学院 2014年 5月 9日 带有不同余项泰勒公式的应用 柴书雅 （陕西理工学院数计学院数教101，陕西 汉中 723000） 指导老师：李金龙 【摘要】数学中的著名的公式都是一古典的数学问题，它们在数学，化学与物理领域都有很广泛的运用.在现 代数学中公式有着重要地位，它对计算极限，敛散性的判断，不等式的证明、中值问题及高阶导的计算以及近似值的计算等方面都有很大的作用.在本文中，我将谈到关于公式的几种形式及进一步的运用。 【关键词】泰勒公式 佩亚诺余项 拉格朗日余项 应用 1 引言 泰勒公式是数学分析的一个重要内容，在了解泰勒公式后我们主要是能将其应用。首先给出几种不同余项的泰勒公式，然后重点是根据这几种不同泰勒公式求极限、高阶导数、判断敛散性、证明中值定理、证明不等式、求近似值和误差估计、研究函数极值. 2 常见几种公式 2.1佩皮亚诺型余项的公式【2】 若函数在点存在直至阶导数，则有，即 . (2) 其中是由这些导数构造的一个次多项式， （3） 称为函数在点处的多项式，的各项系数称为系数.从上易知与其多项式在点有相同的函数值和相同的直至阶导数值，即 ，. （4） 2.2 其次是带有拉格朗日型余项的公式【2】 若函数在上存在直至阶的连续导函数，在内存在阶导函数，则对任意给定的，，至少存在一点，使得 （1） 2.3 柯西型公式【2】 若函数在上存在直至阶的连续导函数，在内存在阶导函数，则对任意给定的，，使得 （5） 其中 2.4积分型公式【2】 如果函数在含有的某个开区间内具有直到的导数, 则当x 在内时, 可表示为的一个次多项式与一个余项之和: 其中 3 公式的应用： 3.1 求极限[1] 例1 求极限 解： 又，将用公式展开 则 小结：本题用洛必达法则求解比较复杂，在这里我选用的是带有佩亚诺型的泰勒公式进行求解。 3.2 求高阶导数[3] 例2 设，求. 分析：这道题若直接求高阶导数比较困难，因此我们考虑在处的麦克劳林展开式. 解： 　　　　　　（10） 　　 又在处的麦克劳林展开式为 　　（11） 　　　　比较（10）（11）中的系数可得， 　　　　　， 由展开的唯一性，并有公式的各项系数 则可得到高阶导数，即. 小结：在高阶倒数的求解中能更加直接的借助公式的特殊形式更快更直接的对其进行展开，再对展开的各项进行最基本的导数求解使计算更加的简洁方便. 3.3 判断敛散性 例3[4] 讨论级数，的敛散性. 解： ， 于是当时，级数收敛，当时，级数发散. 例5 讨论无穷积分的敛散性. 解： 选取，因为，而， 由无穷积分的敛散性判别定理知收敛. 对于公式在判断数学积分问题中收敛性起到的作用通过以上例子有了具体的说明.数学中的敛散性根据不同的积分形式有不同的方法判断，而公式在很多的积分都有其运用其主要原因就是其能使得式子在经过展开后变成简单的式子更加直观方便的计算. 3.4 证明中值定理[5] 例6 设函数在上三阶可导.证明存在一点，使得（1） 证明：设存在一个常数，使得（2） 这时，我们的问题归为证明：，使得 （3） 令 （4） 则 . 根据定理可知，至少存在一点，使得.即 （5） 这是关于k的方程，注意到在点处的泰勒公式： （6） 其中.比较（5）（6）可得到（3）式.即得证 小结：本题是对带有拉格朗日型余项的泰勒公式的应用，其中还应用到了中值定理。 3.5 利用证明不等式 3.5.1证明积分不等式[6] 例8、设是上的连续正值函数，且，，证：. 证明：将在点展开为一阶展式 . 小结：本题是利用了