常微分论文关于一阶微分方程的解的存在的探讨.doc

常微分方程论文 学院：数学科学学院 班级：12级统计班 指导教师：宋旭霞 小组成员：张维萍 付佳奇 张韦丽 张萍 日期：2014.06.06 关于一阶微分方程的解的存在的探讨 摘要：分析了解的存在唯一性定理，它明确地肯定了方程的解在一定条件下的存在性和唯一性，并且对此加以证明。另外，由于能得到精确解的微分方程为数不多，微分方程的近似解法具有重要的意义，而解的存在唯一性是进行近似计算的前提，如果解本身不存在，而近似求解就失去意义。如果存在不唯一，不能确定所求的是哪个解。而解的存在唯一性定理保证了所求解的存在性和唯一性。 关键词：微分方程 连续 可微 近似计算 误差估计 一、存在性与唯一性定理： （1）显式一阶微分方程 （3.1） 这里是在矩形域： （3.2） 上连续。 （一）、定理1：如果函数满足以下条件：1）在上连续：2）在上关于变量满足李普希兹（Lipschitz），使对于上任何一对点，均有不等式成立，则方程（3.1）存在唯一的解，在区间上连续，而且满足初始条件 （3.3） 其中,称为Lipschitz常数. 解题思路： 求解初值问题(3.1)的解等价于积分方程的连续解。 构造近似解函数列 任取一个连续函数，使得，替代上述积分方程右端的，得到 如果，那么是积分方程的解，否则，又用替代积分方程右端的，得到 如果，那么是积分方程的解，否则，继续进行，得到 （3.4） 于是得到函数序列. 函数序列在区间上一致收敛于，即 存在，对(3.4)取极限,得到 ，即. 4) 是积分方程在上的连续解. （二）、五个命题 这种一步一步求出方程解的方法——逐步逼近法.在定理的假设条件下,分五个命题来证明定理. 为了讨论方便,只考虑区间,对于区间的讨论完全类似. 命题1 设是方程(3.1)定义于区间上,满足初始条件 （3.3）的解,则是积分方程 (3.5)的定义于上的连续解.反之亦然. 证明 因为是方程(3.1)满足的解,于是有 两边取到的积分得到 即有 所以是积分方程定义在区间上的连续解. 反之,如果是积分方程(3.5)上的连续解,则 （3.6） 由于在上连续,从而连续,两边对求导,可得 而且 , 故是方程(3.1)定义在区间上,且满足初始条件的解. 构造Picard的逐次逼近函数序列. （3.7） 命题2 对于所有的，（3.6）中的函数在上有定义，连续且满足不等式 （3.8） 证明 用数学归纳法证明 当时，，显然在上有定义、连续且有 即命题成立. 假设命题2成立，也就是在上有定义、连续且满足不等式 当时， 由于在上连续,从而在上连续，于是得知在上有定义、连续,而且有 即命题2对时也成立.由数学归纳法知对所有的均成立. 命题3 函数序列在上是一致收敛的.记, 证明 构造函数项级数 (3.9) 它的部分和为 于是的一致收敛性与级数(3.9)的一致收敛