第26讲赫兹接触问题.doc.docVIP

§10.5 赫兹接触问题 学习思路: ??? 1881年,赫兹（hertz,H.R）首先研究了弹性球体的接触问题。本节以弹性球体的接触介绍接触问题的基本概念。 ??? 由于球体的接触区域对于弹性球体是局部，因此，弹性球体的接触问题可以以半无限平面分布载荷解为基础，分析接触区域的局部变形。这里的问题是球体接触压力是未知函数，因此必须首先根据球体的变形确定未知接触压力。 ??? 赫兹认为接触区域（半径为a的圆）的压力与接触区域半球面的纵坐标成正比。根据这一假设和球体变形分析，可以确定接触压力分布函数和接触区域。 ??? 进一步的讨论可以确定球体的接触应力和变形。 学习要点： ??? 1. ； ??? 2. 。 设弹性球体的半径分别为A1和A2，变形前两球体在O点接触（相切）。两个球体在其中心均受集中力F的作用，在半径为 a 的圆形区域接触。接触区域内任意一点与中心的距离为?，并且球体在?的沉陷分别为?1， ?2 ，则 其中??????????????????????????? 。 ??? 由于接触区域对于弹性球体是局部，因此??远小球体的半径A1和A2, 因此可以采用半无限平面解答分析接触局部变形。 ??? 对于两球体距离接触面足够远的任意两点A1和A2,由于相互压缩而相互接近的距离为?，相对位移分别为w1和w2，则 ??? 如果将球体接触面看作弹性半无限体作用圆形区域分布载荷问题，A1和A2为球体接触面上的点，则位移为 其中, E1，?1和E2，?2分别为球体R1，R2的弹性模量和泊松比。则 应该注意的是,这里接触压力q是未知函数，因此，首先必须确定圆形区域的接触分布载荷。赫兹认为接触区域的接触压力与接触区域半球面的纵坐标成正比。根据这一假设和球体变形分析，可以确定接触压力分布函数和接触区域，有 其中qmax为接触区域中心的压力，???? ? sin??为接触区域内部任意一点与接触区域中心的距离。， 因为s长度mn为。s长度mn中点的压力为q(?)，所以 因此， ，回代可得 因此???????????????????????????? 。 圆形接触区域的半径为?????? 。 最大接触压力为?????????? 。 ??? 如果E1=E2=E，?1=?2=0.3，则。 圆形接触区域的半径为????? 。 球体接触为??????????????? 。 ??? 根据上述分析，也可以进一步求解球体的接触应力分布。 学习思路: ??? 弹性体由于环境温度的变化而导致膨胀和收缩，并且伴随产生应力，这种由于温度改变出现的应力称为温度应力，或者热应力。对于某些在温度变化环境下工作的工程结构，热应力是不容忽视的。 ??? 本节将通过简例扼要说明热应力的弹性力学分析方法。 ??? 对于热应力问题，平衡微分方程和几何方程是相同的，不同的是物理方程。 ??? 通过受热厚壁管道和坝体热应力分析，介绍热应力问题分析和求解的基本方法。 学习要点： ??? 1. ； ??? 2. ； ??? 3. ； ??? 4. ； ??? 5. 。 对于各向同性弹性体，在均匀温度下受热将发生膨胀，如果变形前的三个坐标方向尺寸相同，均为l，变形后各个方向的伸长均为?l，?称为线膨胀系数。如果温度变化为T，则各个坐标方向的线应变为 ??? 如果弹性体所处的环境温度是随着时间和空间变化的，称为温度场。在直角坐标系，温度场是时间和坐标的函数，有 T= T (x，y，z，t)。如果温度场不随时间变化（ ），称为定常温度场，即热源强度W=0。否则均为非定常温度场。温度场是一种数量场。 ??? 热量的传递引起温度的变化，也就是温度梯度的变化。如果单位时间、单位面积上传递的热量定义为热流密度，显然热流密度与温度梯度成正比，方向相反。这一规律称为傅立叶定律。 ??? 以下给出平面热应力问题的基本方程。对于热应力问题，平衡微分方程和几何方程是相同的，不同的是物理方程。 ??? 平面应力问题，本构方程为 ??? 平面应变问题，本构关系为 ??? 下面给出受热管道和坝体的热应力分析结果。 对于受热厚壁管道，设管道的内径为a，外径为b。管道内温度增量为Ta，管道外温度增量为0，管道内无热源时管道内热应力为0。由于管道为定常温度场，根据热传导方程可以得到 ??? 作为轴对称温度场，有 。积分可得 。 ??? 根据边界条件 。可以得到 。则 。 ??? 对于轴对称问题，有?????????????? 。 ??? 平衡微分方程为????????????????? 。 ??? 几何方程???????????????????????? 。 ??? 本构方程???????????????????????? 。 ??? 将上述应力分量代入平衡微分方程，有? 。 引入热弹性势函数??(?)，使得。注意到 ，将