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一思一悟本自然 一招一式亦有道 ———运用“基本套路”对一道课本习题的探究 杜志国（江苏省苏州市昆山经济技术开发区高级中学 215301） 摘要：运用“基本套路”对教材典型例题的内涵进行深化探究，通过“一般化”、“类比”等“一招一式”的方法，使知识、概念和规律在学生“一思一悟”里自然地呈现，从而培养学生的数学思维能力和发现问题解决问题的能力. 关键词： 基本套路 习题教学 数学思维 章建跃博士在“注重‘基本套路’才是好数学教学”中提到:“好数学教学”的根本标准是“数学育人”，也就是要在学生的终身发展上产生最大的长期利益.这种“利益”首先体现在学生通过数学学习而发展了逻辑思维能力，学会思考，也就是掌握研究问题的“基本套路”. 什么是研究问题的“基本套路”呢？图（1）是人教A版教科书中的“基本套路”图.不难看出所谓“基本套路”的教学本质是“授人以渔”.如果教师在教学中，一有机会就引导学生以这个逻辑图为指导展开思考活动，那么经过长期熏陶，就能使学生在潜移默化中养成一种思考习惯.最终，当他们独立面对一个新的研究对象时，就不会感到无从下手，那种“讲过练过的不一定会，没讲没练的一定不会”的现象也就能杜绝了.更重要的是“基本套路”展示了思维发散的过程，揭示了进行数学研究的一般方法，是培养学生发现、分析和解决问题能力的落脚点. 一、题小根深叶自茂 回归教材本为真 苏教版《普通高中课程标准实验教科书·数学》选修2-1，第54页习题2.4课后有一道习题： 题根：已知：直线与抛物线相交于点， 求证：. 背景：本题是在学习抛物线的标准方程和几何性质之后，针对直线与抛物线位置关系所设计的一道练习，题目条件简洁，结论优美，看来貌不惊人，解答也不复杂，但涉及圆锥曲线中互相垂直的两弦的性质。背景是圆锥曲线以定点为顶点的内接三角形对边过定点问题，可谓“题小、根深、叶茂”的好题！基于此，笔者利用“基本套路”拓展本题，不但探究了定点问题的一般解题方法，更和学生一起发现了圆锥曲线的一些重要性质. 二、“基本套路”有规律 一招一式亦有道 教学片断1 师：本题涉及直线与抛物线的位置关系，如何确定直线与抛物线的位置关系？ 生1：通过画图直接可以看出它们相交，也可以联立方程，判断方程组解的个数. 师：也就是说可以通过图形观察和代数计算从数和形两个层面判定位置关系. 此时，一位学生举手发言； 生2：直线经过一个定点在抛物线内，所以一定会与抛物线相交，即使直线为也是相交的，与直线斜率无关，不用画图或计算！ 师：很好！注意到了直线过定点的几何特征，判断起来就更简单了. 【点评】生1说出了判定直线和圆锥曲线位置关系的一般方法，而生2说出了判定过定点的动直线与圆锥曲线的特殊方法，此处使学生体会到特殊和一般的联系. 接下来，教师让学生完成本题的证明并进行展示： 教学片断2 生3：由方程组：消去可得：， 解出，，计算出斜率之积等于-1，即可证明. 生4：不需要计算出A、B，只需设出，坐标， 利用韦达定理： ， ， 故：，即可证明. 【点评】生3的做法是自然的！生4“设而不求”的做法是解析几何的常用技巧，我们到底用哪种方法呢？显然，在一般情况下，处理直线和二次曲线相交涉及到两个交点的问题时，生4的解法更具可行性.为了让学生体会到这一点，笔者运用“基本套路”对本题进行一般化处理. 教学片断3 师：同学们，刚才生2提到直线与抛物线总相交，那么还会成立吗？请大家完成探究1： 探究1：已知：直线方程为与抛物线相交于点，判断成立吗？ 学生很快完成了本题的证明，教师请生5进行展示： 生5：本题的解题思路与原题解法类似，利用生3的方法求解坐标比较繁，我用了生4的方法计算量小了很多！过程如下： 解：由方程组，消去可得： ， 故：，结论依然成立！ 师：是啊，我们解题时，有些思路看着简单合理，但实施起来是很困难的！所以，运算也要注意观察和分析、做到有预判，才能选择合理的有效的方法解题. 【点评】处理解析几何问题时，如何选择合理的方法是一个难点.有时思路简单却伴随着大量运算，而想要运算简单又要苦苦寻觅转化的技巧，因此，在“思路”和“运算”之间权衡，追求“最合理”的解题方法是学生必须具备的解题意识. 通过将直线一般化的方式，问题的本质即将浮出水面！ 教学片断4 师：通过探究1，你们发现了什么吗？你还想了解什么？ 此时，学生发现了一些规律，于是探究的兴趣被点燃了！ 生6：我发现过定点的动直线与抛物线交于，则恒成立，我想了解将点O位置一般化，即：对于抛物线上任意的一点P是否恒成立？. 师：谁来解答这个问题？ 生7：不成立.如果存在，点P的轨迹就是以AB为直径的圆，显然与点P在抛物线上相矛盾. 师：精彩的反证法！将抛物线和圆的同弧所