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第四章 函数的连续性 一、单选题（每题2分） 1、设 则（ ） A、在处极限存在且连续 B、在处极限存在但不连续 C、在处左、右极限存在但不相等 D、在处左、右极限不存在 2、设 要使在处连续，则=（ ） A、2 B、1 C、0 D、-1 3、是函数 的（ ） A、可去间断点 B、跳跃间断点 C、无穷间断点（第二类） D、连续点 4、在内连续，则在内必有（ ） A、最小值 B、零点 C、最大值 D、极值 5、存在是在连续的（ ） A、必要而非充分条件 B、充分而非必要条件 C、充要条件 D、既非充分又非必要条件 6、在连续的充要条件是时（ ） A、是无穷小 B、 C、与存在 D、存在 7、设在处间断，则（ ） A、在处无一定无定义 B、当与存在时，必有≠ C、当与均存在时，必有≠ D、必有 8、设点是地连续点，是的第一类间断点，则点是的（ ） A、连续点 B、可能是连续点，也可能是间断点 C、第一类间断点 D、可能是第一类间断点，也可能是第二类间断点 9、函数的连续范围是（ ） A、 B、 C、 D、 10、是的（ ） A、连续点 B、可去间断点 C、跳跃间断点 D、第二类间断点 答案： C 2、B 3、B 4、B 5、A 6、B 7、C 8、B 9、D 10、C 二、判断题（每题2分） 1、设定义于，在任意有限开区间（A，B）内连续，则在连续。 （ ） 2、设定义于，若，在 和分别连续，则在连续。（ ） 3、设在有定义，在内连续，且和均存在（为有限数），则在上必有最大值。（ ） 4、单调函数的间断点必是第一类的间断点。（ ） 5、一个连续的函数与一个不连续的函数复合后所得的函数必不连续。（ ） 6、两个不连续函数的复合函数必不连续。（ ） 7、若对，在上连续，则在内一定连续。（ ） 8、在连续，（或）在连续。（ ） 9、设在不连续，在也不连续，则在必不连续。（ ） 10、在局部无界的充要条件是在不连续。（ ） 11、在邻域有定义，但不连续在使得 （ ） 12、在内连续，在任意上一致连续，则在一致连续。 （ ） 13、若在内连续，则在内能取得最大值和最小值。（ ） 14、设定义在上的函数存在单值及函数，若在上一对一的且连续，则在其定义域内必连续。（ ） 15、若在上有定义，在内连续，和存在，则在内一致连续。（ ） 答案： 1、√ 2、√ 3、× 4、√ 5、× 6、× 7、√ 8、× 9、× 10、× 11、√ 12、× 13、× 14、√ 15、√ 三、填空题（每题2分） 1、 2、的定义是：对，当 时，有 3、是的 间断点 4、若 在点连续，则a= 5、设 在连续，则a= ； 6、函数在连续，则在处必须满足下述三个第件：① ② ③ ； 7、函数的连续区间是 ； 8、的连续点是 ； 9、则为的 间断点 10、的不连续点及类型 答案： 1、无理点，有理点 2、 3、第二类 4、1 5、 k=0，1，2，…… 6、①在有定义无 ②③ 7、和 8、 9、可去 10、为可去的，为第二类的, 四、计算与应用题（每题5分） 1、讨论函数 的连续性 解：时，连续 时，在处间断 当时， 而 所以在连续 故除外处处连续 延拓函数，使其在上连续 解：∵ ∴延拓到上的函数为 设，研究复合函数与的连续性 解：∵ ∴ ∴在上连续 又 ∴除了为可去间断点外，在和内处处连续 4、讨论 的连续性 解：的定义域为，由于与为的定义区间，故均连续 只在点和有可能间断 由于 ∴为连续点 又由于 ∴为第二类间断点 故在与上均连续，为第二类间断点 5、研究的连续性 解：∵ ∴ 显然及故 有间断点，除此之外均连续 6、 讨论复合函数的连续性 解： 由得 即当时 由得 即当时 于是 当时， 故为的间断点，其它点均为连续点。 7、研究函数的间断点，并作出草图 解： ∴为的第一类间断点· 8、研究函数的间断点及类型，并作出草图 解： 故间断