二、极值与单调性（一）极值问题第一步求函数的定义域；第二步求驻.docVIP

二、极值与单调性 （一）极值问题 第一步：求函数的定义域； 第二步：求驻点和函数不可导的点； 第三步：极值点判别方法 定理1（第一充分条件）设在的去心邻域内可导，则 （1）若当时，，当时，，则为的极大点； （2）若当时，，当时，，则为的极小点。 定理2（第二充分条件）设在处二阶可导，且，则 （1）若，则为的极小点； （2）若，则为的极大点； （3）若，则无法确定是否为的极值点。 例题1 设一阶连续可导，，，判断是否是的极值点。 例题2 设，讨论是否是的极值点？ （二）单调性 第一步：求函数的定义域； 第二步：求驻地及函数不可导的点； 第三步：第二步求出的点将定义域分成若干子区间，导数大于零的子区间为单调增区间，导数小于零的区间为单调减区间。 三、最值问题 1、闭区间上连续函数最值的求法 （1）求出函数在区间内所有的驻点及不可导点，设为； （2）， 。 如：，令，得， 由，得在上的最大值为，最小值为。 2、无限区间上连续函数最值 若函数的无限区间上只有唯一驻点，且该点为极值点，则此点一定为最值点。 3、实际问题 先根据变量之间的关系列出目标函数，再求目标函数的驻点或不可导点，若只有一点，则此点即为目标函数的最优解。 四、凹凸性、拐点与渐近线 （一）凹凸性 1、凹凸性定义—设在内连续，若对任意的，都有 ， 则称在内为凸函数，反之称为凹函数。 2、凹凸判别法 定理 （1）若在有，则在内凹函数； （2）若在有，则在内凸函数。 证明：（1）设在内有，对任意的，且， 令，因为，所以 ，其中“”成立当且仅当，于是 ， ， 两式分别乘以，相加得 ，即，根据定义，在内凹函数，同理可证当在有，则在内凸函数。 （二）拐点 若的二阶导数在的两侧异号，则称为曲线的拐点。 （三）渐近线 1．若，则称为的铅直渐近线； 2．若，则称为的水平渐近线； 3．若，，则称为的斜渐近线。 例题1 求的水平渐近线与铅直渐近线。 例题2 求的斜渐近线。 称点。 例题3设，证明：当时，。 例题4 证明：。 一元函数积分学 第一部分 不定积分 第二部分 定积分理论 第三部分 定积分应用 第一部分 不定积分部分 一、基本概念 1、原函数—设为两个函数，若，则称为的原函数。 2、不定积分—设为一个存在原函数的函数，则的所有原函数称为的不定积分，记为，设为的一个原函数，则。 注解： （1）连续函数一定存在原函数，反之不对； （2）存在第一类间断点的函数不存在原函数，但有第二类间断的函数可能存在原函数，如 ，显然为函数的第二类间断点，但确为的一个原函数。 （3），。 二、不定积分的基本性质 1、； 2、。 三、不定积分基本公式 1、； 2、（1）； （2）； 3、，特别地； 4、（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10）； 5、（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； 6、。 四、积分法 （一）换元积分法 1、第一类换元积分法 2、第二类换元积分法 （二）分部积分法 公式：； 常用类型： （1）被积函数为幂函数与指数函数之积； （2）被积函数为幂函数与对数函数之积； （3）被积函数为幂函数与三角函数之积； （4）被积函数为幂函数与反三角函数之积； （5）被积函数为指数函数与三角函数之积； （6）被积函数为及的奇次方； （7）递推关系。 五、特殊函数的不定积分 1、有理函数的不定积分： 2、无理函数的不定积分： 3、三角有理函数的不定积分 第二部分 定积分理论 一、定积分的定义 定积分—设为上的有界函数，若存在，称在上可积，极限称为在上的定积分，记，即。 注解： （1）极限与区间的划分及的取法无关； （2），反之不对； 如在区间上的定义如下：， 若皆取每个小区间的有理数，则，若皆取每个小区间的无理数，则，则极限不存在，即在上不可积。 （3）连续函数一定可积。 （4）若一个函数在闭区间上只有有限个第一类间断点，则该函数在区间上可积。 （5）若一个函数可积，在可以取等份的方法进行计算，即 ，该方法在数列极限中有应用。 （6）设函数为连续的奇函数，则一定为偶函数，若为连续的偶函数，则不一定是奇函数，当一定为奇函数。 二、定积分的基本性质 1．； 2．； 3．； 4．； 5．设，则； 推论1 设，则； 推论2 。 6．设在上连续，且，则。 7．（积分中值定理）设，则存在，使得。 8．（1）设，且，则。 （2）设，且不恒为零，则。 （3）设，且不恒等，则 。 9．（柯西不等式）设，则 。 三、一元函数积分学基本定理 定理1 设，令，则为的一个原函数，即。 注解：（1）连续函数一定存在原函数