20141晶格振动的经典理论.ppt

见 Blakemore：Solid State Physics P111 NaI 的色散曲线 于是： 四. 态密度函数 (Density of States)：参见Kittel 书p83 既然边界条件要求q 在波矢空间取值是分立的，就提出一个模式密度问题。 一维情况下的态密度： 一维情形，我们曾指出：波矢空间单位长度上的模式 数： ，所以 间隔内的模式数为： 定义：态密度 就是单位频率间隔内的状态数。 注意到： 有： 一维单原子链晶格振动的态密度： 因为： 所以： 如是一维弹性波： 显然，格波和弹性波是不同的。 0 分立晶格 连续模型 分立晶格和连续模型的区别： 同样方法也可以得到一维双原子链晶格振动的态密度， 它们共同的特点是：在布里渊区边界， 三维情况下的态密度： 设一边长为 L的立方体，体积 包含有N3个原胞， 于是每个 q 值在波矢空间占据的体积是： 半径为q 的球体积内的模式数目为： 球壳内的模式数： 于是： 频率间隔内的模式数为： 对一支色散关系而言： · 在三维空间中传播的波的 q 的允许值及等频线示意图。 弹性波近似下的态密度： 态密度曲线呈抛物线变化是弹性波的标志。 在实际计算弹性波态密度时，要注意晶体的弹性波速度是方向的函数，例如立方晶系有： 之分。 公式中声速应是几种声速的平均值，考虑到每个q支对应 3支色散关系，弹性波的态密度函数应表示为： 实际晶体的态密度： 晶体的态密度函数原则上可以从理论上通过上述公式 计算，先求出每支色散曲线相应的态密度： 每个原胞有n个原子的晶体的总的态密度函数是： 右图是金属 Al 的晶格振动态密度合成图，总态密度是两支横波和一支纵波的叠加。 Cu晶体的总振动态密度函数谱 见黄昆书p133 可以明显看出铜晶体的态密度函数，低频部分呈抛物线形状，这和色散曲线低 q 部分接近弹性波线性关系是一致的。 当色散关系为ω = vpq2 时，证明一、二、三维空间的声子态密度分别与频率ω的1/2，0，－1/2次方成比例。 例 题 对于三维情况，在q空间，等频率面为球面，半径为 即 由 二维时，等频率线实际上是一个圆环，半径为 线长为 所以 即 q空间中的密度 一维时，等频率点为两个关于原点对称点，距离是 即 于是 五. 近似条件与使用范围： 在经典力学的范畴内，通过对粒子运动方程的讨论，我们对格波进行了描述，得到很多很多新鲜的概念和图像，今后我们将不断地应用这些概念去理解晶体性质，特别是辐射波和晶体的相互作用等。但我们必须记住上面推导中使用了许多近似条件，因而也限制了结果的使用范围。这是我们必须注意到的。 最近邻近似： 只考虑了最近邻作用，有时为了拟和实验曲线，还必须考虑次级或更多级的紧邻作用。 简谐近似： 体系的势能函数只保留至二次方项，称为简谐近似，是我们能够求解问题的关键，即便是必须考虑了三次以上的非谐项，也只能通过修订简谐近似的结果来处理。 玻恩－卡门周期性边界条件： 或者说Born-Karman近似，使用该近似最初是为了方 便于求解有限体积下的原子运动方程，避免由于边界原子的差异给联立方程求解带来的困难。但使用该边界条件推出的结论却完全得到了实验结果的证实，这充分表明了使用该周期性边界条件的合理性。 至目前为止，尚未找到其它边界条件可以获得与实验更加符合的结果，所以周期性边界条件成为我们处理的晶格振动唯一选项。 绝热近似： 上面的讨论中，我们把原子当作没有结构的质点来处理，唯一的属性是具有质量 m，显然这是一种近似。原子是由原子核和核外电子组成的，在大多数场合，我们只需要把自由电子突出出来，而把其它电子和原子核看成刚性连在一起的离子实来处理，这种把自由电子和离子实分开处理的方法称为绝热近似。在绝热近似下，我们可以把离子实当作质点来单独处理，而认为自由电子的运动不会影响到离子实的振动状态。但严格说来，离子运动会引起电子云的畸变，而电子的运动也会影响到离子振动，所以离子的运动必须和电子的运动一起考虑。然而离子比电子质量重103－105倍，而运动速度（103）又比电子运动速度（106）慢几千倍，所以目前讨论离子的运动时，可以近似的认为电子能很快适应离子位置的变化，在离子运动的任何一个瞬间，电子都处于基态；当以后讨论自由电子的运动时，我们也可以认为离子是静